Численный анализ диффузионной аппроксимации одноканальной системы массового обслуживания с управляемыми параметрами загрузки и обработки

Работа посвящена численному анализу качества диффузионной аппроксимации управляемой одноканальной системы массового обслуживания в загруженном состоянии. Управление системой задается вероятностью отказа и интенсивностью обработки. Цель исследования - нахождение условий применимости диффузионной аппроксимации к модели управляемого марковского процесса, описывающего состояние системы. Качество аппроксимации характеризуется величиной равномерной метрики, определяющей расстояние между стационарными распределениями в исходной и приближенной модели, а также числовыми показателями, такими как средняя загрузка, среднее время ожидания, доля отклоненных заявок и объем затраченных ресурсов. Аппроксимация оказывается тем точнее, чем с большей вероятностью диффузионный процесс попадает в интервал доступа, т.е. интервал, в котором вероятность отказа меняется от нуля до единицы..

1.    ВВЕДЕНИЕ

Современные системы передачи и обработки информации по своей сути являются системами массового обслуживания (СМО), в которых входной поток состоит из однотипных пакетов — небольших порций данных, предусмотренных сетевым протоколом [1,2]. Традиционные методы анализа и оптимизации СМО основаны на использовании марковских процессов с конечным множеством состояний [3,4].

Однако при значительном объеме трафика практическое применение данной методологии становится затруднительным из-за большого числа уравнений, описывающих стационарные вероятности состояний соответствующей СМО. Один из эффективных способов решения проблемы большой размерности, возникающей при оптимизации дискретных марковских процессов, является метод диффузионной аппроксимации [5,6].

Аналогично [7-9] в данной работе рассматривается одноканальная СМО, имеющая конечную очередь, принимающая на вход простейший поток и предусматривающая возможность управления характеристиками доступа и загрузки: вероятность отказа и интенсивность обработки. Однако в отличие от указанных работ далее система будет изучаться в условиях сильной загрузки. Кроме того, управление осуществляется за счет выбора параметров двух линейных функций, определяющих зависимость вероятности отказа и интенсивности обработки от числа заявок в системе. Обе функции отражают естественное требование роста числа отброшенных пакетов и скорости обработки при увеличении загрузки системы. Целью работы является нахождение условий применимости диффузионной аппроксимации к модели управляемого марковского процесса, описывающего число заявок в системе. В работе предлагается диффузионная аппроксимация, основанная на модели стохастического дифференциального уравнения с линейными сносом и диффузией [10]. Устанавливается, что в зависимости от соотношения параметров системы стационарное распределение аппроксимирующего процесса является трехпараметрическим гамма-распределением или гауссовским.

Если назвать интервалом доступа тот промежуток, в котором вероятность отказа как функция состояния меняется в интервале (0,1). Тогда основной результат работы можно сформулировать следующим образом: качество аппроксимации зависит от вероятности попадания диффузионного процесса в интервал доступа. Поэтому если вероятность отказа априори отделена снизу от нуля и сверху от единицы, то диффузионная аппроксимация вполне приемлема для приближенного описания и последующей оптимизации управляемой СМО с интенсивным входным потоком.

2.    ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

3. МЕТОД ДИФФУЗИОННОЙ АППРОКСИМАЦИИ

4.     ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА

5.    РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Дальнейшие результаты сравнения при различном объеме очереди N приведены в следующей таблице.