Гипотеза Бейкера-Гаммеля-Уиллса о сходимости подпоследовательностей диагональных элементов таблицы аппроксимаций Паде

 

 1.       ОПРЕДЕЛЕНИЕ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ

Пусть

 

                                                              (1)

 

- степенной ряд (1), n и m - целые неотрицательные числа. По определению рациональная р-

функция —называется аппроксимацией Паде типа (n, m) степенного ряда 1, Qn,m

если

                                                         (2)

и имеет место равенство

                                                                                        (3)

Обозначая j-й коэффициент Тейлора функции , непосредственно из определения получаем, что коэффициенты многочлена являющегося знаменателем аппроксимации, удовлетворяют следующей линейной

                                                                                         (4)

 

Очевидно, что нулевая строка таблицы (когда фиксировано т = 0) - это обычная последовательность частичных сумм степенного ряда (1). В теории аппроксимаций Паде центральную роль играют вопросы сходимости элементов таблицы Паде - чаще всего строк, когда т фиксировано, п → ∞,, или диагонали таблицы Паде, когда п = m → ∞,. Проиллюстрируем преимущества аппроксимаций Паде, по сравнению с частичными суммами, на примере следующей простой функции

                                                           (5)

голоморфной в круге |𝑧𝑧| < 1 и имеющей точку ветвления 𝑧𝑧 = −1, лежащую на границе этого круга. Вторая точка ветвления функции (5) – это точка 𝑧𝑧 = ∞. Хорошо известно, что последовательность частичных сумм функции (5) сходится к этой функции равномер-но на компактах, лежащих в круге |𝑧𝑧| < 1 (т.е. в круге до ближайшей особой точки), и расходится в любой точке вне замыкания этого круга. С другой стороны, известно, что диагональ таблицы аппроксимаций Паде функции (5) сходится к этой функции равномерно на компактах, лежащих в области , т.е. во всей ком-плексной плоскости за исключением разреза [−∞,−1], соединяющего точки ветвления 𝑧 = ∞ и 𝑧 = −1 функции (5). Заметим также, что все нули знаменателей 𝑄𝑛,𝑛,n= 1,2,... , лежат на разрезе [−∞,−1], который является наиболее естественным разрезом среди всех разрезов, соединяющих точки ветвления 𝑧 = ∞ и 𝑧 = −1 функции (5). Кроме того, ]– это максимальная область сходимости диагонали . Это связано с тем, что если бы диагональ сходилась в большей области, то ее предельная функция давала бы голоморфное однозначное продолжение функции (5) в большую область, что невозможно, так как двузначная алгебраическая функция (5) не может быть однозначной ни в какой области, строго содержащей .

2.        ТЕОРЕМА МОНТЕССУ ДЕ БОЛОРА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ

Наиболее ярким результатом о сходимости строк аппроксимаций Паде является следующая теорема Монтессу де Болора [2].

Частный случай m = 0 теоремы Монтессу де Болора совпадает с хорошо известным утверждением, что частичные суммы ряда Тейлора функции /, голоморфной в круге D, сходятся к f равномерно на компактах, лежащих в D.

Заметим, что предположение теоремы Монтессу де Болора о том, что функция f имеет в круге D = {|z| < R} ровно m полюсов (с учетом кратностей) является существенным. Без этого предположения теорема становится неверной (полюса аппроксимаций перестают “понимать, куда им следует притягиваться и в результате могут образовывать множество, всюду плотное во всей комплексной плоскости”). В общем случае (без этого предположения) можно утверждать только лишь, что Определение сходимости по емкости будет дано ниже (см. определение (27)). Кроме того, В.И. Бу­слаев, А.А. Гончар, и С.П. Суетин [3] в 1983 году показали, что равномерная сходимость имеет место по подпоследовательности в некотором меньшем круге. Точнее, они доказали следующую теорему.

Доказательство теоремы 1. Пусть . Непосредственно из определения аппроксимаций Паде имеем равенства

                                                                                                                       (6)

                                                                                                                 (7)

Вычитая из равенства (6), умноженного на Q_n+1(z), равенство (7), умноженное на Q_n(z), получаем равенство

                                                                   (8)

Заметим, что степень многочлена, стоящего в левой части равенства (8), не превосходит (n + 1) + 2 = n + 3, а в правой части стоит ряд по степеням zⁿ⁺³ и выше. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства (8) получаем равенство

                                                                                                                         (9)

Разделив равенство (9) на (Q_nQ_n+1)(z), получим равенство

Воспользовавшись равенством (10), представим в следующем виде

                                                             (11)

Из этого представления видно, что сходимость последовательности эквивалентна сходимости ряда

                                                                                                                                         (12)

Напомним, что знаменатели 𝑄𝑛 имеют степень, не выше 2. Пусть 𝜁𝑛 и 𝜏𝑛 нули многочлена 𝑄𝑛.
Нормируем многочлены 𝑄𝑛 следующим образом:

А.А.Гончар доказал [4], что при такой нормировке радиус 𝑅𝑅(𝑓) голоморфности функции 𝑓 вычисляется по следующей формуле

                                                                                                                                 (13)

где 𝐴𝑛 - коэффициенты ряда (12). Кроме того, А.А.Гончар доказал [4], что ряд (12) равно-мерно сходится к 𝑓 на компактах, лежащих внутри множества {|𝑧|<𝑅(𝑓)}\𝐷𝜀 где множество 𝐷𝜀 можно покрыть объединением кругов, сумма радиусов которых не превосходит ε, где ε - произвольное наперед заданное положительное число. Таким образом,

                                                                                        (14) 

Так как по условию теоремы функция 𝑓 голоморфна в круге |𝑧|<1, то 𝑅(𝑓)≥1 и, следовательно, из формулы (13) имеем неравенство 

Легко видеть, что это неравенство влечет за собой предельное равенство

где 𝛿 − произвольное сколь-угодно малое положительное число. Поэтому найдется под-последовательность 𝛬_𝛿 натуральных чисел такая, что при всех 𝑛 ∈ 𝛬_𝛿 и всех 𝑘 =0,1,… выполняются неравенства

                                                                                                        (15)

Фиксируем число r (0<𝑟<10⁻⁶) и предположим, что функция [𝑛/2]_𝑓 при всех 𝑛 ∈ 𝜨 имеет полюс 𝜁𝑛𝑛 такой, что |𝜁𝑛|≤𝑟. Исходя из этого предположения, получим оценку снизу для 𝑟. Оценим правую часть равенства (14) при 𝑛 ∈ 𝛬_𝛿. Так как при 𝑛 ∈ 𝛬_𝛿 выполняются неравенства (15), то

                                                                                               (16)

 

Следовательно,

                                                                           (17)

Фиксируем числа 𝑠,𝑡,𝑞 такие, что и положим

                                                                                                                                      (18)

Пусть 𝜏_𝑛 − полюс [𝑛/2]_𝑓 (ноль многочлена 𝑄_𝑛), отличный от 𝜁_𝑛. Обозначим через 𝐷_𝑛,𝑘 круг радиуса ℎ𝑞^𝑘 с центром в точке 𝜏𝜏_𝑛+k, т.е

Обозначим через φ функцию, ставящую в соответствие каждому комплексному числу z его модуль \z\, т.е. φ(z) = \z\. Заметим, что функция φ переводит круг D_𝑛,𝑘 в интервал

длина которого равна 2hq^k. Следовательно, - это объединение интервалов, суммарная длина которых в силу определения (18) постоянной h не превосходит

Поэтому на отрезке [5, t] длины t - s найдется точка р, не принадлежащая множеству . Это означает, что в множестве комплексной плоскости нет точек, по модулю равных р. Следовательно, окружность Г_р = {IzI = р} лежит в кольце {𝑠≤|𝑧|≤t} и не пересекается с множеством . Поэтому при всех , ... имеем неравенства

Оценивая при помощи этих неравенств правую часть неравенства (17), при получаем неравенство

 

                                             (19)

Из определения аппроксимаций Паде (см. равенство (3)) видно, что функция, стоящая в левой части неравенства (19), голоморфна в круге |z|<1. Поэтому по принципу макси-мума модуля для голоморфных функций неравенство (19) выполняется не только при z ∈ 𝛤𝜌, но и при всех z, лежащих внутри окружности 𝛤𝜌 и, в частности, при z = 𝜁𝑛. Следовательно,

Так как 𝜁𝑛 − ноль многочлена 𝑄𝑛, то последнее неравенство совпадает с неравенством

                                                                (20)

Подставляя точку z = 𝜁𝑛 в равенство (9) и учитывая, что 𝑄𝑛(𝜁𝑛)=0, получаем равенство

которое можно переписать в следующем виде

Отсюда и (20) имеем неравенство

или, что, то же самое, неравенство

                                                                                            (21)

Так как

то из неравенства (21) получаем неравенство

Так как полученное неравенство не зависит от п, а число 𝛿 сколь-угодно мало, то тем самым имеем неравенство

Отсюда и определения (18) постоянной h получаем неравенство

                                                                                                               (22)

Так как оцениваемая величина r окажется достаточно малой, то имеет смысл выбрать параметры 𝑡 и 𝑞 так, чтобы максимизировать величину

Приравнивая к нулю частные производные по 𝑡 и 𝑞 функции 𝛷(0,𝑡,𝑞) получаем следую-щую систему

эквивалентную системе

В качестве приближенного решения последней системы можно взять следующие параметры: При таких параметрах неравенство (23) приобретает следующий вид:

                                                               (23)

 

Легко видеть, что из неравенства (24) следует, что г ≥ 10^-6. Таким образом, теорема доказана.

3.        ТЕОРЕМА ШТАЛЯ И КОНТРПРИМЕР К ГИПОТЕЗЕ ШТАЛЯ

Одним из наиболее глубоких результатов о сходимости диагонали таблицы аппроксимаций Паде является теорема Шталя [5], [6] о сходимости диагонали таблицы аппроксимаций Паде многозначных алгебраических функций. Напомним, что функция f (z) называется алгебраической функцией, если она является решением уравнения

где Ро (z),..., Рк (z) — некоторые многочлены. Теорема Шталя может быть сформулирована как для вышеопределенных аппроксимаций Паде с центром в точке z = 0, так и для аппроксимаций Паде с центром в точке z = ∞. В последнем случае теорема Шталя становится более наглядной.

Напомним определение аппроксимаций Паде с центром в точке z = ∞.

Пусть

                                                                                                                                       (25)

                                                                                           

Перед формулировкой теоремы Шталя напомним также определение трансфинитного диаметра компакта 𝐾, лежащего в комплексной плоскости:

                                                                                               (26)

                                                                                                        (27)

Таким образом, для произвольных алгебраических функций равномерная сходимость может отсутствовать. Однако, рассмотренный в §1 пример простой функции f(z) = наводит на мысль, что если на алгебраическую функцию наложить некоторые дополнительные ограничения, то по некоторой подпоследовательности такая равномерная сходимость может и возникнуть. В частности, 1996 году Г. Шталь высказал следующее предположение о сходимости диагонали таблицы аппроксимаций Паде с центром в точке z=0 гиперэллиптических функций [7].

Гипотеза Шталя является уточнением старой высказанной в 1961 году гипотезы Бейкера-Гаммеля-Уиллса, в которой функция f - это произвольная голоморфная в круге функция, т.е. в гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в отличие от гипотезы Шталя нет условия гиперэллиптичости функции. Таким образом, если гипотеза Шталя неверна, то гипотеза Бейкера-Гаммеля-Уиллса тем более будет неверна.

Сам же Г. Шталь и доказал в [7] свою гипотезу в ситуации общего положения, т.е. при некоторых весьма общих предположениях на нули и полюсы рациональных функций г₁и г₂.

Тем не менее, оказалось, что в общем случае (в отсутствие дополнительных условий на нули и полюсы рациональных функций г₁и г₂) гипотеза Шталя неверна. Соответствующий пример, указанный В.И.Буслаевым [8], дается гиперэллиптической функцией

                                                                               (28)

Итак, гиперэллиптическая функция (28) опровергает гипотезу Шталя. Однако, по аналогии с теоремой Буслаева-Гончара-Суетина имеет смысл говорить о модифицированной гипотезе Шталя.

Легко видеть, что модифицированная гипотеза Шталя верна тогда и только тогда, когда с>0. C другой стороны, так как основной вариант гипотезы Шталя неверен, то с<1. Более того, как показывает пример Буслаева

с≤ 0,9841.                                                                                                                                                      (29)

В данной дипломной работе решается следующая задача.

Задача. Найти верхнюю оценку постоянной с, фигурирующей в модифицированной гипотезе Шталя, улучшающую оценку (29).

Ответ на поставленную задачу содержится в следующей теореме.

Теорема 2. Для постоянной с, фигурирующей в модифицированной гипотезе Шталя, имеет место верхняя оценка

с ≤ 0,9638.                                                                                                                                                      (30)

Очевидно, что верхняя оценка (30) точнее оценки (29).

                                               (31)

Следовательно, функция 𝑓𝑝 (𝑧) имеет следующее разложение в периодическую (с периодом 3) непрерывную дробь

                                                                                (32)

p	mp/Mp
0,4 + 2,598i	0,9768
0,23131 + 2,598i	0,981
1,5 + 2,598i	0,9841
1,5 + 2i	0,9875
1,5 + 6,235i	0,9945
0,8 + 2,598i	0,9788
0,56321 + 2,598i	0,9774
0,3333 + 2,598i	0,9767
0,569 + 0,2568i	2,658
0,569 + 0,2568i	2,658
2356 + 0,2365i	1
5,004 + 0,2365i	1,006
0,3111 + 3,345i	0,9851
0,3111 + 2,345i	0,9757
0,3111 + 2,222i	0,9752
0,3111 + 2,1112i	0,9752
0,6111 + 2,1112i	0,9712
0,5111 + 2,1112i	0,9695
0,4111 + 2,1112i	0,9679
0,211 + 2,1112i	0,9824
0,461 + 2,1112i	0,9687
0,413 +2,11i	0,968

0,411 + 2,13i	0,9684
1,411 + 1,119i	1,045
1,411 + 0,119i	1,527
1,411 + 12,119i	0,9986
1,411 - 9,119i	0,9995
0,4432 +2,111i	0,9684
0,32 +2,111i	0,9745
0,352 +2,111i	0,9722
0,552 +2,111i	0,9702
3	1,032
0,455 +1,9i	0,9638