Моделирование и анализ данных 2014. № 1. С. 129–138
ISSN:
2219-3758 / 2311-9454 (online)
Численные решения задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с особыми точками 944
Полупанов А.Ф., доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, профессор кафедры прикладной математики факультета информационных технологий МГППУ, sashap55@mail.ru
Представлен явный численный метод решения задачи на собственные значения и связанных с ней проблем для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с особыми точками, а именно, радиального уравнения Шредингера, описывающего кулоновские состояния водородоподоб-ного атома, в частности, состояния мелких донорных примесей в объёмном прямозонном полупро-воднике или в полупроводниковой квантовой точке. Вычислены энергии и волновые функции нескольких нижайших дискретных состояний водородоподобного атома как в случае, когда известно точное аналитические решения задачи, что позволяет оценить точность метода, так и в случаях, когда применимы только численные методы. Рассмотрены следующие проблемы: связанные состояния во-дородоподобной примеси в квантовой точке, волновая функция основного состояния водородоподобных атомов в модели потенциала центральной ячейки нулевого радиуса, связанные состояния для кулоновского потенциала с жёсткой сердцевиной.
Уравнение (1) имеет две особые точки: регулярную особенность при r =
0 и иррегулярную особенность при r = ∞. Уравнение (1) описывает
кулоновские состояния атома водорода и водородоподобного атома в различных
системах, например, состояния мелких донорных примесей в объёмных прямозонных
полупроводниках или в полупроводниковых квантовых точках.
Мессиа А. Квантовая механика. − М.: Наука, Т.1, 1978.
Polupanov A.F., Kogan Sh.M. Lines intensities in shallow acceptor spectra
in germanium. − Sov. Phys. Semicond. 1979, 13 (12), pp. 1368-1371.
Pajot B., Beinikhes I.L., Kogan Sh.M., Novak M.G. Polupanov A.F., Song C.
The interpretation of the p3/2 spectra of group III acceptors in silicon. −
Semicond. Sci. Technol. 1992, 7, pp. 1162-1169.
Galiev V.I., Polupanov A.F., Shparlinski I.E. On the construction of
solutions of systems of linear ordinary differential equations in the
neighbourhood of a regular singularity. − J. of Computational and Applied
Mathematics, 1992, v. 39, pp. 151 -163.
Galiev V.I., Polupanov A.F., Accurate solutions of coupled radial
Schrödinger equations. − J. Phys. A: Math. Gen., 1999, v. 32, pp.
5477-5492.
Федорюк М.В. Асимптотические методы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. − М.: Наука, 1985.
Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. − New
York, London, Sydney: Interscience Publishing, 1965.
Polupanov A.F., Galiev V.I., Novak M.G. Effect of the spin-orbit
interaction on the optical spectra of an acceptor in a semiconductor quantum
dot. − Semiconductors, 1997, 31 (11), pp. 1185-1191.
Yamasaki Sh. A new method for treating the hard core potential, − Progress
of Theoretical Physics. 2006, 115 (1), pp. 89-114.