Обзор open-source библиотек для решения задач прогнозирования временных рядов

Представлен обзор разнообразных open-source Python-библиотек, предназначенных для анализа и прогнозирования временных рядов. Охватываются такие инструменты, как Prophet, Kats, Merlion, а также алгоритмы ARIMA, LSTM, позволяющие исследовать сезонность, тренды и аномалии в данных временных рядов. Подробно рассмотрены возможности каждой библиотеки, их преимущества и области применения в анализе временных данных.

Введение

В современной жизни во многих сферах трудно обойтись без временных рядов. Временные ряды применяются для хранения вполне ожидаемых последовательностей данных, например, сведений об изменениях складских запасов и погодных условий [1]. Это может быть любая информация, измеряемая через определенные промежутки времени: дни, месяцы, часы, минуты и т.д.

Временные ряды широко используются в различных областях, включая авиацию, финансы, экономику, метеорологию, медицину, техническое обслуживание и другие [1, 2]. Анализ временных рядов позволяет обнаруживать тренды, сезонные колебания, циклы и другие закономерности, что помогает в принятии решений, выявлении паттернов и прогнозировании данных. Прогнозирование - это важная часть инженерного процесса: предсказать предел выносливости деталей [17], показатели качества, надежности [18] и другие [19], количество остаточных ресурсов [20].

Изучение и анализ временных рядов имеет большое значение для прогнозирования будущих значений, выявления закономерностей, внедрения эффективных стратегий и принятия обоснованных решений на основе исторических данных. По сути, временные ряды являются необходимым инструментом во многих научных областях.

Предсказание временных рядов играет важную роль в различных областях кибернетики и информационных технологий, где анализ временных данных и прогнозирование будущих значений имеют ключевое значение. Вот некоторые области, где предсказание временных рядов чрезвычайно важно:

1. Финансовые рынки [1]:

 - Прогнозирование цен на финансовых рынках для принятия решений о торговле и инвестициях.

 - Моделирование волатильности цен для рискового управления.

2. Промышленность и производство [1]:

 - Прогнозирование спроса на продукцию для планирования производства и управления запасами.

 - Предсказание отказов оборудования для предупреждения и проведения обслуживания.

3. Климатология и метеорология: предсказание погоды и климатических изменений для планирования действий в экстренных ситуациях и адаптации к изменениям климата [1].
4. Транспорт и логистика [2]:

 - Прогнозирование транспортного спроса для оптимизации маршрутов и планирования логистики.

 -  Предсказание трафика для улучшения управления дорожным движением.

5. Здравоохранение [1]:

  - Прогнозирование распространения для разработки и реализации мер по предотвращению заболеваний и эпидемий и их контролю.

 - Предсказание медицинских показателей для диагностики заболеваний и планирования лечения.

6. Маркетинг и реклама: прогнозирование поведения потребителей для оптимизации маркетинговых стратегий и увеличения эффективности рекламы [1].

Анализ временных рядов и предсказание их значений являются важными инструментами в различных областях кибернетики и информационных технологий для прогнозирования трендов, принятия решений и оптимизации бизнес-процессов.

Обзор open-source библиотек

В современном мире важно уметь пользоваться открытыми и доступными инструментами, чтобы прежде всего уметь задать базовый уровень для создания новых алгоритмов. К таким инструментам относятся:

• Google Colab (облачная среда для работы с Python, удобна для анализа данных и временных рядов) [6],
• Kaggle (платформа для соревнований по анализу данных, предоставляет доступ к множеству данных для работы с временными рядами) [7],
• библиотеки pandas, NumPy [8], Matplotlib [9], Seaborn [10], Statsmodels [11], Prophet [12], Kats [13], Merlion [14] в Python,
• Jupyter Notebook: популярная среда для интерактивных вычислений.

Эти инструменты предоставляют мощные средства для анализа и прогнозирования временных рядов, визуализации данных и создания моделей временных рядов.

Prophet

Остановимся подробнее на библиотеках. Prophet - это библиотека для анализа и прогнозирования временных рядов. Её основные особенности и преимущества:

- Простота в использовании: Prophet обладает простым и интуитивно понятным программным интерфейсом приложения, что делает его доступным для широкого круга пользователей даже без глубоких знаний в анализе временных рядов.

- Устойчивость к отсутствию данных: может автоматически обрабатывать отсутствующие данные и аномалии, что упрощает процесс работы с реальными временными данными. Аномалия, или выброс, определяется как элемент, явно выделяющийся из набора данных, к которому он принадлежит, и существенно отличающийся от других элементов выборки [5].

- Учет сезонности и праздников: библиотека позволяет учитывать сложные сезонные и праздничные эффекты, что особенно важно для прогнозирования временных рядов с сезонными колебаниями.

- Гибкость в настройке: предлагает пользователю возможность настройки модели на основе его потребностей, включая изменение сезонности, добавление праздников и определение структуры тренда.

- Интерпретируемые результаты: Prophet генерирует прогнозы с интерпретируемым разложением на тренд, сезонность и праздники, что облегчает анализ и понимание прогнозов.

- Открытый исходный код: библиотека является проектом с открытым исходным кодом, что способствует активному развитию и поддержке сообществом пользователей.

• Визуализация позволяет делать интуитивно понятные графики. На графике изображено, как тренд и сезонность взаимодействуют и формируют общую динамику временного ряда (рис. 1).

Рис. 1. Визуализация тренда и сезонности в Prophet

Благодаря простоте использования, гибкости в настройке и возможности учета сложных сезонных эффектов, Prophet стал популярным инструментом для анализа и прогнозирования временных рядов в различных областях.

В библиотеке Prophet в основном используется адаптивный алгоритм анализа временных рядов, основанный на аддитивной регрессии "trend + seasonality + holidays" (тренд + сезонность + праздники).

Основные компоненты модели в Prophet включают [12]:

1. Тренд (Trend):

   - Prophet автоматически определяет и моделирует общий тренд изменений в данных временного ряда.

   - Тренд может быть линейным или нелинейным, в зависимости от структуры данных.

2. Сезонность (Seasonality):

   - Prophet учитывает сезонные колебания в данных, например, ежедневные, еженедельные, ежемесячные или годовые паттерны.

   - Модель Prophet может учесть как аддитивные, так и мультипликативные компоненты сезонности.

3. Праздники (Holidays):

   - Библиотека Prophet предоставляет возможности для включения праздников и важных событий в модель.

   - Праздничные дни могут оказывать значительное влияние на временной ряд.

4. Шум и аномалии: Prophet умеет обрабатывать аномалии и шум в данных, предоставляя возможности для их учета при анализе временных рядов.

Этот набор компонентов позволяет модели Prophet адаптироваться к различным структурам и особенностям временных рядов, обеспечивая устойчивость к отсутствию данных, изменчивости в данных и корректировку прогнозов в соответствии с обнаруженными аномалиями и праздничными эффектами.

Kats

Другой библиотекой в Python, используемой для работы с временными рядами, является Kats. Kats (Kit to Analyze Time Series) — это мощная библиотека для анализа временных рядов. Она предоставляет широкий спектр функций и алгоритмов для работы с временными данными.

Основные возможности Kats:

1. Моделирование и прогнозирование: различные алгоритмы, такие как ARIMA, LSTM (Long Short-Term Memory), TBATS (Trigonometric seasonal components, Box-Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components) и другие, для моделирования и прогнозирования временных рядов.
2. Детекция аномалий: Kats включает инструменты для обнаружения аномалий и нестандартных паттернов во временных рядах.
3. Преобразование данных: имеет функции для подготовки и обработки временных данных, включая работу с пропущенными значениями.
4. Анализ и визуализация:

- Визуализация K-мер спектров помогает визуально исследовать уникальные шаблоны в данных (рис. 2).

- Обладает возможностями для визуализации данных и результатов моделирования.

- Возможность проводить анализ сезонности, трендов и других характеристик временных рядов.

Преимущества использования Kats:

- Многофункциональность: предлагает разнообразные инструменты для полноценного анализа временных рядов.

- Простота использования: обладает удобным интерфейсом и интуитивно понятными функциями.

Kats - это надежный инструмент для анализа временных рядов, который объединяет в себе множество функций, начиная от моделирования и прогнозирования и заканчивая анализом и визуализацией данных. Kats может стать отличным выбором для решения задач анализа и прогнозирования.

Рис. 2. Визуализация данных в Kats

В библиотеке Kats представлены разнообразные алгоритмы для работы с временными рядами:

1. Prophet-ARIMA: комбинация модели Prophet и модели ARIMA для улучшения точности прогнозирования.
2. Arima: модель ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) для анализа и прогнозирования временных рядов.
3. LSTM: рекуррентная нейронная сеть, применяемая для моделирования временных данных с учетом долгосрочных зависимостей.
4. TBATS: комбинированный метод, учитывающий сезонность, тренды и другие компоненты временных рядов.

Это лишь небольшой список ключевых алгоритмов, доступных в Kats. Библиотека Kats также включает другие методы и инструменты для работы с временными рядами, такие как детекция аномалий, визуализация данных, подготовка данных и другие функции, которые помогут в анализе и прогнозировании временных данных.

TBATS

TBATS (Trigonometric seasonal components, Box-Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components) — это комплексный метод анализа и прогнозирования временных рядов, который учитывает множество компонентов и особенностей временных данных для создания достоверных прогнозов.

Основные особенности:

1. Учет сезонности: обеспечивает учет различных видов сезонности в данных, таких как дневная, недельная, месячная сезонности и другие.
2. Применение преобразований Box-Cox: используются для стабилизации дисперсии и приведения данных к более нормальному распределению.
3. Учет авторегрессионных ошибок ARMA: включает в себя компоненты авторегрессии и скользящего среднего для обработки корреляции ошибок в данных.
4. Моделирование трендов и сезонности: TBATS моделирует как долгосрочные тренды, так и сезонные колебания временных рядов для точного прогнозирования.
5. Гибкость и настройка: позволяет настраивать параметры модели в зависимости от особенностей конкретного временного ряда для достижения оптимальных результатов.

Преимущества использования метода:

- Универсальность: способность моделировать различные сезонности и компоненты временных рядов.

- Прогностическая точность: обеспечивает более точные прогнозы благодаря учету нескольких аспектов данных.

- Гибкость настройки: позволяет адаптировать модель к специфическим характеристикам конкретного временного ряда.

Метод TBATS представляет собой инструмент для анализа и прогнозирования временных рядов, объединяя в себе различные аспекты, такие, как сезонность, тренды, авторегрессии и другие компоненты. Его гибкость и способность к адаптации делают его привлекательным выбором для повышения точности и достоверности прогнозов в различных областях анализа временных данных.

LSTM

Другим инструментом в Kats, используемым для анализа временных рядов, является LSTM:

LSTM (Long Short-Term Memory) — это вид рекуррентных нейронных сетей, специально разработанный для обработки последовательных данных и умения запоминать долгосрочные зависимости во временных рядах.

Основные особенности:

1. Долгосрочная память: способны эффективно удерживать информацию на протяжении длительных периодов времени, что делает их особенно полезными для анализа временных рядов с долгосрочными зависимостями.
2. Избегание проблем затухания (градиенты становятся слишком малыми по мере распространения через глубокие слои нейронной сети, поэтому веса слоев не обновляются, и сеть перестает обучаться) и взрыва градиентов (градиенты становятся очень большими, из-за чего обновления весов становятся больше чем требуется, что может сбить оптимизацию сети).
3. Гибкость моделирования: могут быть настроены для моделирования различных видов временных рядов, а также включать дополнительные компоненты, такие как сезонность или тренды.
4. Адаптивная сеть: способность LSTM к адаптации к изменяющимся условиям временных данных позволяет им эффективно прогнозировать и анализировать временные ряды даже в условиях изменчивости.

Преимущества использования:

- Умение запоминать зависимости в данных: могут удерживать информацию на длительные временные интервалы, что позволяет им учитывать сложные временные зависимости.

- Гибкость моделирования: возможность настройки под различные характеристики временного ряда делает их удобным инструментом анализа данных.

- Применение в различных областях: LSTM успешно применяются в прогнозировании рядов, обработке текстов, обработке изображений и других областях машинного обучения.

Метод представляет собой эффективный и гибкий подход к анализу временных рядов, способный учитывать сложные структуры и зависимости в данных. Их способность к долгосрочному запоминанию и адаптации делает LSTM одним из наиболее мощных инструментов в области анализа временных данных.

ARIMA

В Kats есть модель ARIMA, которую активно применяют для работы с временными рядами:

ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) — это модель временных рядов, которая объединяет компоненты авторегрессии (AR - Autoregressive) и скользящего среднего (MA - Moving Average) с интегрированием (I - Integrated ), что позволяет эффективно моделировать и прогнозировать временные данные.

Основные характеристики:

1. Авторегрессия: отвечает за моделирование зависимости текущего значения временного ряда от предыдущих значений в этом же ряду.
2. Интегрирование: позволяет обработать нестационарность данных путем их дифференцирования до достижения стационарности. Нестационарность данных означает непостоянность статистических характеристик ряда со временем.
3. Скользящее среднее (будущие значения предсказываются по известным предыдущим значениям [1]): учитывает зависимость текущего значения ряда от ранее случившихся ошибок модели.

Применение:

- ARIMA в Kats позволяет анализировать временные ряды, моделировать тренды и сезонные колебания, а также совершать прогнозирование на основе исторических данных.

- Он эффективен для прогнозирования временных рядов с линейными зависимостями и относительно стабильными трендами.

Преимущества использования:

- Простота применения: ARIMA позволяет легко моделировать временные ряды без большого числа настраиваемых параметров.

- Устойчивость к стационарности: применение интегрирования в ARIMA позволяет учесть случаи, когда временные данные нестационарны.

ARIMA широко используется для анализа и моделирования временных рядов, особенно в случаях, когда данные обладают линейной структурой и стационарностью. В контексте Kats, ARIMA открывает возможности для прогнозирования временных рядов, что делает его ценным инструментом для исследования временных данных.

Merlion

Merlion — это библиотека для анализа временных рядов, разработанная Яндексом. Она предлагает разнообразные инструменты и методы для работы с временными данными.

Работа с временными рядами в Merlion:

1. Загрузка данных: предоставляет удобные способы загрузки и подготовки временных данных из различных источников, включая CSV-файлы, базы данных и другие форматы.
2. Предобработка и очистка данных: позволяет проводить предварительную обработку данных, включая устранение пропущенных значений, фильтрацию выбросов и приведение данных к нужному формату.
3. Моделирование и прогнозирование: предлагает широкий спектр моделей для анализа и прогнозирования временных рядов, включая SARIMA, ARIMA, Prophet, LSTM и другие.
4. Оценка качества модели: позволяет оценить качество построенных моделей с использованием различных метрик, таких как среднеквадратичная ошибка (MSE), коэффициент детерминации и других [1].
5. Разработка собственных моделей: помимо встроенных алгоритмов можно разрабатывать собственные модели для анализа временных рядов, что расширяет возможности анализа данных.
6. Визуализация: Merlion обладает возможностями для визуализации временных рядов, прогнозов моделей, а также показателей качества предсказаний, что способствует более наглядному анализу данных. Позволяет обнаружить аномалии с помощью модели DefaultDetector (рис. 3).

Рис. 3. Визуализация аномалий в Merlion

Преимущества использования:

- Широкий выбор моделей: разнообразные методы и алгоритмы для работы с временными рядами.

- Удобство в использовании: интуитивный интерфейс, что упрощает анализ и моделирование временных данных.

- Гибкость и масштабируемость: способен эффективно обрабатывать как небольшие, так и крупномасштабные временные ряды.

Merlion обладает разнообразными функциональностями для работы с данными, позволяет исследовать, моделировать и прогнозировать временные данные, делая процесс анализа более эффективным и удобным.

В библиотеке Merlion для анализа временных рядов доступны различные алгоритмы и модели:

1. ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average): модель для моделирования и прогнозирования временных рядов, учитывающая авторегрессию, интегрирование и скользящее среднее.
2. SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving-Average): расширение модели ARIMA с учетом сезонности для анализа и прогнозирования временных данных.
3. Prophet: модель, разработанная для прогнозирования временных рядов с учетом сезонности и праздников.
4. LSTM (Long Short-Term Memory): рекуррентная нейронная сеть LSTM для работы с динамическими временными данными и изучения долгосрочных зависимостей.
5. Классическая экспоненциальная сглаживающая модель (Exponential Smoothing): модель для прогнозирования временных рядов, учитывающая экспоненциально убывающие веса для прошлых значений.
6. DeepAR: модель DeepAR для прогнозирования с учетом автокорреляции и нелинейных зависимостей в данных [15].
7. Модели обнаружения аномалий: Merlion также предлагает алгоритмы для обнаружения аномалий во временных рядах, что помогает выявлять необычные и выбивающиеся паттерны.

Это лишь небольшой перечень некоторых доступных алгоритмов в библиотеке Merlion: она предлагает широкий спектр методов и моделей для анализа, моделирования и прогнозирования временных рядов, делая ее универсальным инструментом для работы с данными временных рядов.

SARIMA

В библиотеке Merlion есть модель SARIMA (Seasonal Autoregressive Integrated Moving-Average), которая является расширением модели ARIMA для учета сезонности во временных рядах. Она включает в себя компоненты авторегрессии, интегрирования, скользящего среднего и учитывает сезонный компонент для более точного прогнозирования временных данных.

Основные характеристики:

1. Сезонность: позволяет учитывать сезонные колебания во временных рядах, что делает ее эффективной для прогнозирования данных с периодическими изменениями.
2. Стационарность: учитывает нестационарность временных данных через интегрирование, что позволяет обеспечить адекватное моделирование и прогнозирование.
3. Авторегрессия и скользящее среднее: присутствие компонентов авторегрессии и скользящего среднего позволяет учесть зависимость текущих значений ряда от предыдущих значений и ошибок модели.

Применение модели:

- Для анализа и прогнозирования временных рядов с учетом сезонных изменений и долгосрочных зависимостей.

- Может быть эффективно применена для данных, в которых присутствует ярко выраженная сезонность.

Преимущества использования:

- Учет сезонности: позволяет учесть цикличность и регулярные изменения во временных рядах.

- Прогнозирование точных значений: модель особенно полезна для точного прогнозирования в данных с сезонной динамикой.

- Универсальность: SARIMA является гибкой моделью, которая может быть настроена по различным сценариям анализа временных данных.

Способность учитывать сезонные компоненты и долгосрочные зависимости делает SARIMA важным инструментом для работы с данными, где присутствует периодичность изменений.

Exponential Smoothing

Классическая экспоненциальная сглаживающая модель (Exponential Smoothing) — это метод прогнозирования временных рядов, основанный на усреднении предыдущих значений с использованием экспоненциального взвешивания, чтобы учесть влияние более недавних данных на прогноз.

Основные характеристики:

1. Взвешивание данных: экспоненциальное сглаживание позволяет придать больший вес более свежим данным, что делает модель более чувствительной к последним наблюдениям.
2. Простота и эффективность: метод является простым в реализации и обладает хорошей способностью адаптироваться к изменчивости временных данных.
3. Учет трендов и сезонности: в классической модели экспоненциального сглаживания можно встретить вариации, учитывающие тренды и сезонность в данных.

Применение метода:

- Прогнозирование временных рядов: используется для прогнозирования будущих значений временных рядов на основе предыдущих данных.

- Анализ трендов и структуры данных: этот метод помогает выявить тренды и основные паттерны во временных данных.

Преимущества использования:

- Простота и понятность: экспоненциальное сглаживание просто в использовании и понимании.

- Хорошая адаптивность: работает с быстро меняющимися данными и обеспечивает гибкую настройку.

- Эффективность в обработке больших объемов данных: справляется с большим объемом временных данных и быстро вычисляет прогнозы.

Классическая экспоненциальная сглаживающая модель в Merlion представляет собой простой, но многофункциональный метод для анализа и прогнозирования временных рядов. Ее преимущества включают простоту использования, адаптивность к изменчивым данным и хорошую способность к прогнозированию основных паттернов в данных.

Заключение

Прогнозирование временных рядов применяется в авиационной и ракетно-космической технике для планирования предупредительного технического обслуживания или замены деталей до возможного отказа, позволяет прогнозировать процесс износа материалов и компонентов, расход топлива, траектории ракет и спутников, пассажиропоток, загруженность аэропортов.

Благодаря прогнозированию временных рядов появляется возможность улучшить управление рисками, повысить безопасность полетов, оптимизировать процессы и ресурсы, а также повысить эффективность систем в целом.

В мире анализа временных рядов Python представляет множество мощных библиотек, которые обеспечивают широкие возможности для анализа, моделирования и прогнозирования данных. Такие библиотеки, как Prophet, Kats, Merlion и другие предоставляют спектр методов и инструментов, позволяющих исследовать сезонность, тренды, аномалии и другие характеристики временных рядов.

Python-библиотеки обладают гибкостью, простотой использования и возможностью настройки под различные типы данных, что предоставляет широкий выбор для исследователей, аналитиков и специалистов по анализу данных. Сочетание разнообразных алгоритмов, визуализации и анализа данных делает эти библиотеки необходимыми инструментами для успешного решения задач, связанных с временными рядами. Внедрение этих инструментов в рабочий процесс поможет сделать анализ временных данных более точным, информативным и эффективным. В табл. представлены результаты сравнения библиотек и методов, рассмотренных в статье.

Таблица. Сравнение библиотек и их методов

1. Эйлин Нильсен. Практический анализ временных рядов: прогнозирование со статистикой и машинное обучение.: Пер. с англ. — СПб.: ООО “Диалектика”, 2021. — 544 с.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г.М. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974. 406 с.
3. Дж. Вандер Плас. Python для сложных задач: наука о данных и машинное обучение. — СПб.: Питер, 2018. — 576 с.
4. Чернобровов Алексей. ТОП-7 Python-библиотек для анализа временных рядов. URL: https://chernobrovov.ru/articles/top-7-python-bibliotek-dlya- vremennyh-ryadov.html. (Дата обращения: 02.03.2024)
5. С.Г. Антипов, М.В. Фомина. Проблема обнаружения аномалий в наборах временных рядов. Программные продукты и системы, №2 (98) 2012 г.. – 168с. – с.78-82.
6. Google Colab: [Электронный ресурс]. URL: https://colab.research.google.com/. (Дата обращения: 04.03.2024)
7. Kaggle: [Электронный ресурс]. URL: https://www.kaggle.com/. (Дата обращения: 04.03.2024)
8. NumPy: [Электронный ресурс]. URL: https://numpy.org/doc/. (Дата обращения: 04.03.2024)
9. Matplotlib: [Электронный ресурс]. URL: https://matplotlib.org/stable/index.html. (Дата обращения: 04.03.2024)
10. Seaborn: [Электронный ресурс]. URL: https://seaborn.pydata.org/. (Дата обращения: 04.03.2024)
11. Statsmodels: [Электронный ресурс]. URL: https://www.statsmodels.org/stable/index.html. (Дата обращения: 04.03.2024)
12. Prophet: [Электронный ресурс]. URL: https://prophet.readthedocs.io/en/latest/. (Дата обращения: 04.03.2024)
13. Kats: [Электронный ресурс]. URL: https://kat.readthedocs.io/en/latest/. (Дата обращения: 04.03.2024)
14. Merlion: [Электронный ресурс]. URL: https://opensource.salesforce.com/Merlion/latest/index.html. (Дата обращения: 04.03.2024)
15. DeepAR Forecasting Algorithm: [Электронный ресурс]. URL: https://docs.aws.amazon.com/sagemaker/latest/dg/deepar.html. (Дата обращения: 04.03.2024)
16. Python: [Электронный ресурс]. URL: https://www.python.org/ (Дата обращения: 04.03.2024)
17. Письмаров А. В. К вопросу прогнозирования предела выносливости резьбовых деталей с поверхностным упрочнением // Труды МАИ. 2023. № 129. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=173003
18. Пиганов М. Н., Куликов А. В., Новомейский Д. Н. Прогнозные математические модели тонкоплёночных элементов микросборок // Труды МАИ. 2023. № 131. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=175920
19. Блинов А. В., Разумов Д. А. Процедура формализации стратегий как элемент методики учета факторов неопределенности при прогнозировании показателей реализации программ создания космической техники // Труды МАИ. 2022. № 122. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=164270
20. Беляев Б. В., Лебедев А. С. Методика прогнозирования остаточного ресурса при разгерметизации летательных аппаратов // Труды МАИ. 2022. № 125. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=168167