Алгоритм для численного решения диффузионно-реакционно-дрейфового уравнения с дробной производной по времени и координате

Работа посвящена построению и программной реализации вычислительного алгоритма для моделирования процесса диффузионно-дрейфовой природы на основе дробно-дифференциального подхода. Математическая модель сформулирована в виде начально-краевой задачи для дробного по времени и пространству диффузионно-дрейфового уравнения с реакционным слагаемым в ограниченной области. Нецелые производные по времени и пространству рассмотрены в смысле Капуто и Римана – Лиувилля соответственно. Построена модифицированная неявная конечно-разностная схема. В концепции рассмотренной математической задачи приведен пример детерминированной модели процесса зарядки диэлектрических материалов. Разработана прикладная программа, реализующая сконструированный численный алгоритм. На примере решения тестовой задачи проведена верификация полученных результатов.

1. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Изд-во «Артишок». 2008. 512 с. 
2. Deng W., Hou R., Wang W., Xu P. Modeling Anomalous Diffusion. From Statistics to Mathematics. Singapore: World Scientific. 2020. 268 p.
3. Evangelista L.R., Lenzi E.K. Fractional diffusion equations and anomalous diffusion. Cambridge: Cambridge University Press. 2018. 345 p.
4. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. New York: Gordon and Breach. 1993. 1016 p.
5. Васильев В.В., Симак Л.А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. Киев: НАН Украины. 2008. 256 с.
6. Scherera R., Kallab S.L., Tangc Y., Huang J. The Grünwald – Letnikov method for frac-tional differential equations // Computers & Mathematics with Applications. 2011. Vol. 62. P. 902–917. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.03.054
7. Tadjeran С., Meerschaert M.M. A second-order accurate numerical method for the two-dimensional fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2007. Vol. 220. P. 813–823. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.05.030
8. Meerschaert M.M., Tadjeran С. Finite difference approximations for fractional advection–dispersion flow equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2004. Vol. 172. № 1. P. 65–77. DOI: 10.1016/j.cam.2004.01.033
9. Cao J., Li C. Finite difference scheme for the time-space fractional diffusion equations // Open Physics. 2013. Vol. 11. P. 1440–1456. DOI: 10.2478/s11534-013-0261-x
10. Zhang F., Gao X., Xie Z. Difference numerical solutions for time-space fractional advection diffusion equation // Bound Value Probl. 2019. Vol. 14. P. 1–11. DOI:10.1186/s13661-019-1120-5
11. Мороз Л.И., Масловская А.Г. Численное моделирование процесса аномальной диффузии на основе схемы повышенного порядка точности // Математическое моделирование. 2020. Т. 32. № 10. С. 62–76. DOI: 10.20948/mm-2020-10-05
12. Рау Э.И., Евстафьева Е.Н., Андрианов М.В. Механизмы зарядки диэлектриков при их облучении электронными пучками средних энергий // Физика твердого тела. 2007. Т. 50. Вып. 4. С. 599–607.
13. Chezganov D.S., Kuznetsov D.K., Shur V.Ya. Simulation of spatial distribution of electric field after electron beam irradiation of MgO-doped LiNbO3 covered by resist layer. // Ferroelectrics. 2016. Vol. 496. P.70–78. DOI: 10.1080/00150193.2016.1157436
14. Maslovskaya A.G., Pavelchuk A.V. Simulation of delay reaction-drift-diffusion system applied to charging effects in electron-irradiated dielectrics // Proc. of IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. 2019. P. 012009 (6). DOI: 10.1088/1742-6596/1163/1/012009
15. Moroz L.I., Maslovskaya A.G. Hybrid stochastic fractal-based approach to modeling the switching kinetics of ferroelectrics in the injection mode // Mathematical Models and Computer Simulations. 2020. Vol. 12. P.348–356. DOI:10.1134/S0234087919090077
16. Мейланов Р.П., Садыков С.А. Фрактальная модель кинетики переключения поляризации в сегнетоэлектриках // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. С. 128–129.
17. Galiyarova N.M. Fractal dielectric response of multidomain ferroelectrics from the irreversible thermodynamics standpoint // Ferroelectrics. 1999. Vol. 222. P. 381–387. DOI:10.1080/00150199908014841
18. Ducharne B., Sebald G., Guyomar D. Time fractional derivative for frequency effect in ferroelectrics // 18th IEEE International Symposium on the Applications of Ferroelectrics. 2009. P.1–4. DOI: 10.1109/ISAF.2009.5307619
19. Asghari Y., Eslami M., Rezazadeh H. Soliton solutions for the time‑fractional nonlinear diferential‑diference equation with conformable derivatives in the ferroelectric materials // Optical and Quantum Electronics. 2023. Vol. 55: P.289–230. DOI: 10.1007/s11082-022-04497-8
20. Бризицкий Р.В., Максимова Н.Н., Масловская А.Г. Теоретический анализ и численная реализация стационарной диффузионно-дрейфовой модели зарядки полярных диэлектриков // Математическая физика. 2022. Т. 62. С. 1696–1706. DOI:10.31857/S0044466922100039
21. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекциидиффузии. М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ». 2015. 248 с.