Алгоритмическое и программное обеспечение исследования математической модели межотраслевого баланса при нечеткой информации о конечном спросе

220

Аннотация

В статье рассматривается формирование и исследование математической модели межотраслевого баланса при наличии четкой информации о матрице прямых затрат и нечеткой информации о конечном спросе. Данная задача является нечетким аналогом математической модели многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева, которая основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа, в частности, решение линейных систем алгебраических уравнений. Под решением задачи с нечеткой информацией понимается решение линейной системы уравнений с нечеткой правой частью, описываемой с помощью нечетких треугольных чисел в параметрической форме. Описана программная реализация численного метода поиска сильного решения системы линейных уравнений с нечеткой правой частью, состоящая из двух последовательных этапов. На первом этапе проверяются необходимые и достаточные условия существования сильного решения. На втором этапе находится решение системы, которое записывается в виде нечеткой матрицы. Проведено исследование влияния разброса параметров нечетких чисел на итоговый результат.

Общая информация

Ключевые слова: Нечеткая логика, треугольные числа, линейная система уравнений с нечеткой правой частью, сильное решение, параметрическая форма треугольного числа

Рубрика издания: Моделирование

Тип материала: научная статья

Для цитаты: Пантелеев А.В., Савельева В.С. Алгоритмическое и программное обеспечение исследования математической модели межотраслевого баланса при нечеткой информации о конечном спросе // Моделирование и анализ данных. 2019. Том 9. № 3. С. 11–23.

Полный текст

В статье рассматривается формирование и исследование математической модели межотраслевого баланса при наличии четкой информации о матрице прямых затрат и нечеткой информации о конечном спросе. Данная задача является нечетким аналогом математической модели многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева, которая основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа, в частности, решение линейных систем алгебраических уравнений. Под решением задачи с нечеткой информацией понимается решение линейной системы уравнений с нечеткой правой частью, описываемой с помощью нечетких треугольных чисел в параметрической форме. Описана программная реализация численного метода поиска сильного решения системы линейных уравнений с нечеткой правой частью, состоящая из двух последовательных этапов. На первом этапе проверяются необходимые и достаточные условия существования сильного решения. На втором этапе находится решение системы, которое записывается в виде нечеткой матрицы. Проведено исследование влияния разброса параметров нечетких чисел на итоговый результат.

ВВЕДЕНИЕ

В процессе функционирования многоотраслевой экономики каждая отрасль выступает, с одной стороны, производителем некоторой продукции, а с другой стороны, потребителем продукции, произведенной другими отраслями. При этом возникает проблема нахождения объема производства каждой из отраслей, достаточного для удовлетворения потребностей во всех отраслях. Для ее решения известным экономистом В.В. Леонтьевым была предложена математическая модель межотраслевого баланса, сводящая проблему к решению системы линейных алгебраических уравнений [1]. При этом считается, что все параметры модели известны точно. Однако в практике экономических расчетов обычно имеется неопределенность параметров, описываемая интервалами возможных значений. Кроме того, численному значению из интервала может быть поставлена в соответствие степень уверенности, которая в теории нечетких множеств задается так называемыми функциями принадлежности [2-4]. Одним из возможных типов функций принадлежности являются треугольные, которые задают треугольные числа.

Предлагается сформировать нечеткий аналог математической модели В.В. Леонтьева, в которой координаты вектора конечного спроса задаются треугольными числами. При этом система линейных уравнений межотраслевого баланса трактуется как нечеткая, решение которой ищется в классе треугольных нечетких чисел [2]. Различные методы решения таких систем предложены в [3, 4]. Авторами предложена более удобная форма записи и алгоритм решения нечеткой системы уравнений, который реализован в виде программного обеспечения, эффективность которого продемонстрирована в ходе анализа нечеткой модели.

1. ЗАДАЧИ ОПИСАНИЯ И АНАЛИЗА МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ПРИ НАЛИЧИИ ЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассмотрим классическую задачу анализа взаимосвязи между различными секторами экономики, производящими товары и услуги [1]. В качестве единицы измерения объемов товаров и услуг каждого сектора выберем их стоимость. Произведенная каждой конкретной отраслью продукция разделяется на две части: промежуточную продукцию, которая продается отрасли-покупателю, использующей ее в дальнейшем для производства других видов продукции; конечную продукцию, которая продается покупателю, не использующему ее в сфере производства. В соответствии с этим делением спрос также подразделяется на промежуточный и конечный. Конечный спрос определяется личным потреблением, экспортом и т.д. Он оценивается в результате исследования рынка. Конечный спрос определяет объем конечной продукции во всех секторах.

Требуется найти, сколько продукции следует произвести в каждом секторе экономики, чтобы удовлетворить конечный спрос.

 

2. ЗАДАЧА ОПИСАНИЯ И АНАЛИЗА МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА С НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ О КОНЕЧНОМ СПРОСЕ

На практике при задании конечного спроса информация может быть размытой, т.е. представляться некоторым отрезком возможных значений. Более того, возможен случай, когда задается четкое значение и границы отрицательного и положительного изменений относительно четкого значения. В этом случае можно описать элементы вектора конечного спроса с помощью нечетких чисел и операций над ними, в частности треугольных чисел. Приведем основные определения, которые будут использоваться при составлении математической модели.

  1. Треугольное нечеткое число = (a, c d) задается функцией принадлежности [2] (рис.1)

 Рис. 1. Представление треугольного нечеткого числа при помощи функции принадлежности

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

4.      ПРИМЕР АНАЛИЗА МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА С НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ О КОНЕЧНОМ СПРОСЕ

Рис. 2. Решение примера 1 в среде MathCad

Округляя полученное решение до двух знаков после запятой, имеем

Рис.3. Результаты расчетов в примере 1

 

2.       Увеличим неопределенность спроса в первой отрасли в 2 раза:

 Рис.4. Результаты расчетов в примере 2

3.       Увеличим неопределенность спроса еще и во второй отрасли в 2 раза:

Рис. 5. Результаты расчетов в примере 3

4.       Увеличим неопределенность спроса в третьей отрасли в 2 раза:

Рис.6. Результаты расчетов в примере 4

 

Увеличение неопределенности спроса привело к соответствующему возрастанию неопределенности объема выпуска продукции.

5.       Продемонстрируем применение несимметричных треугольных чисел. Пусть неопределенность спроса задана в форме

Рис. 7. Результаты расчетов в примере 5

 

Результаты примера демонстрируют, что неопределенность задания элементов матрицы-столбца конечного спроса может быть задана как с помощью треугольных чисел с симметричными функциями принадлежности, так и с несимметричными. К недостатку описанного подхода следует отнести применение только четких матриц прямых затрат, хотя на практике их элементы также могут быть известны неточно. Устранение этого недостатка является предметом дальнейших исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформирована математическая модель межотраслевого баланса с нечеткой информацией о конечном спросе с помощью аппарата треугольных нечетких чисел и нечетких линейных систем уравнений с нечеткой правой частью. Описан алгоритм решения нечеткой линейной системы. Приведен анализ влияния конечного спроса на изменение объемов выпуска продукции в различных секторах экономики при помощи предложенной нечеткой математической модели.

Литература

  1. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум. - М.: ИНФРА–М, 2015.
  2. Dubois D.,Prade H. Operations on fuzzy numbers // J. Systems Sci. 1978. V.9. P.613–628.
  3. Friedman M., Ming M., Kandel A. Fuzzy linear systems//Fuzzy sets and systems, 1998. V.96. P. 201–209.
  4. Amrahanov S.E., Askerzade I.N. Strong solutions of the fuzzy linear systems //CMES. 2011. V.76. № 4. P. 207–216.

Информация об авторах

Пантелеев Андрей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики института «Информационные технологии и прикладная математика», Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2493-3617, e-mail: avpanteleev@inbox.ru

Савельева Вера Сергеевна, студент бакалавриата факультета «Информационные технологии и прикладная математика», Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия, e-mail: verassavel@mail.ru

Метрики

Просмотров

Всего: 512
В прошлом месяце: 3
В текущем месяце: 2

Скачиваний

Всего: 220
В прошлом месяце: 3
В текущем месяце: 9