Об одном методе декомпозиции в задаче быстродействия для линейной дискретной системы с ограниченным управлением

В работе рассматривается задача быстродействия для линейной дискретной системы с ограниченным управлением. Стоит отметить, что в работе рассматриваются также системы с вырожденной матрицей состояния. Для случая, когда минимальное число шагов, необходимое для достижения системой нуля, значительно превышает размерность фазового пространства, разработан метод декомпозиции на скалярные и двумерные подсистемы, основанный на приведении матрицы состояния к нормальной жордановой форме. При этом за счёт разработанного алгоритма сложения двух многогранников, обладающего линейной сложностью, множества 0- управляемости для двумерных подсистем удаётся построить в явном виде. Также представлено описание основных инструментов решения задачи быстродействия, а также производится постановка задачи декомпозиции. Далее сформулированы и доказаны некоторые свойства многогранников на плоскости, на основе которых разработан алгоритм вычисления множества вершин суммы двух многогранников в R2 в явном виде. В заключение сформулирована и доказана основная теорема о декомпозиции. А на основе разработанных методов построено решение задачи оптимального по быстродействию демпфирования высотного сооружения, расположенного в зоне сейсмической активности.

Математические модели, возникающие в различных областях прикладной математики, нередко характеризуются высокой размерностью, что приводит к соответствующим вычислительным трудностям при решении задач анализа и синтеза. Одним из распространённых подходов в теории управления снижения сложности решаемых задач является декомпозиция исходной динамической системы на подсистемы меньшей размерности.

1. Елкин В.И. Подсистемы управляемых систем и задача терминального управления // АиТ. 1995. No 1. С. 21–29.
2. Камачкин А.М., Шамберов В.Н. Метод декомпозиции в многомерных нелиней ных динамических системах // Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2012. No 1. С. 47–55.
3. Weibel C. Minkowski sums of polytopes: combinatorics and computation. Lau- sanne:EPFL, 2007.
4. Fukuda K., Weibel C. On f-vectors of Minkowski additions of convex polytopes // Discrete and Computational Geometry. 2007. No. 37. P. 503–516.
5. Ангелов Т.А. Нахождение край них точек суммы двух политопов // Вестн. Вол- гогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2016. Т. 37. No 6. С. 7–17.
6. Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H. The quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. V. 4. No. 22. 1996. P. 469–483.
7. Каменев Г.К., Поспелов А.И. Полиэдральная аппроксимация выпуклых компактных тел методами наполнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. No 5. С. 818–828.
8. Каменев Г.К. Численное исследование эффективности методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел. М.:Вычислительный центр РАН, 2010.
9. Циглер Г.М. Теория многогранников. М.:МЦНМО, 2014.
10. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
11. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИИЛ, 1960.
12. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.:Мир, 1989.
13. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
14. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Достижимость и управляемость дискретных систем при ограниченных по величине и импульсу управляющих воздей ствиях // АиТ. 2003. No 12. С. 17–32.
15. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче оптимального быстродей ствия для линей ной дискретной системы с ограниченным скалярным управлением на основе множеств 0-управляемости // АиТ. 2015. No 9. С. 3–30.
16. Ибрагимов Д.Н. Оптимальное по быстродей ствию управление движением аэростата // Электрон. журн. Тр. МАИ. 2015. No 83.
17. Ибрагимов Д.Н. Аппроксимация множества допустимых управлений в задаче быстродей ствия линей ной дискретной системой // Электрон. журн. Тр. МАИ. 2016. No 87.
18. Ибрагимов Д.Н. О задаче быстродей ствия для класса линей ных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // АиТ. 2019. No 3. С. 3–25.
19. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче быстродей ствия для класса линей ных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем и ограниченным управлением // АиТ. 2017. No 10. C. 3–32.

PlumX

Метрики публикации