Перейти к основному содержанию

Моделирование и анализ данных
2023. Том 13. № 2. С. 151–179
doi:10.17759/mda.2023130209
ISSN: 2219-3758 / 2311-9454 (online)

Суперэллипсоидальные аппроксимации в задаче быстродействия для двумерной линейной дискретной системы с ограниченным управлением

44

Ибрагимов Д.Н., Подгорная В.М.

PDF (RUS)
GS
Информация
в Google Scholar

Аннотация

В статье рассматривается двумерная линейная дискретная система с ограниченным управлением. Для системы решается задача быстродействия, то есть построение процесса управления, который переводит систему из начального состояния в начало координат за минимальное число шагов. Если множество допустимых значений управления имеет структуру суперэллипса, то задача вычисления оптимального управления может быть сведена к решению системы алгебраических уравнений. Для множеств произвольной структуры разработан метод суперэллипсоидальной аппроксимации. Приведены примеры.

Общая информация

Ключевые слова: система управления, задача быстродействия, принцип максимума, суперэллипс

Рубрика издания: Методы оптимизации

Тип материала: научная статья

DOI: https://doi.org/10.17759/mda.2023130209

Получена: 25.04.2023

Принята в печать:

Для цитаты: Ибрагимов Д.Н., Подгорная В.М. Суперэллипсоидальные аппроксимации в задаче быстродействия для двумерной линейной дискретной системы с ограниченным управлением // Моделирование и анализ данных. 2023. Том 13. № 2. С. 151–179. DOI: 10.17759/mda.2023130209

Полный текст

Введение

Одним из естественных функционалов качества управления является время, затрачиваемое системой на достижение заданного терминального состояния. На практике полученная задача оптимального управления называется задачей быстродействия. Существенно, что задача быстродействия для линейных дискретных систем обладает рядом серьезных отличий от аналогичной задачи для непрерывных систем. В то время как в случае непрерывного времени решение, полученное на основе принципа максимума Понтрягина [10] для линейной системы, гарантирует релейный характер оптимального по быстродействию управления, аналогичные системы с дискретным временем [11, 12] в силу дискретного характера функционала качества предполагают принципиально иные критерии оптимальности.
Рассмотрение условий оптимальности процесса при использовании различных классических подходов приводит к двум принципиально отличающимся методам формирования оптимального управления. Метод динамического программирования Беллмана [8] позволяет построить оптимальное управление в позиционной форме. В случае, когда множество допустимых значений управления представляет собой многогранник, вычисление каждого управляющего воздействия сводится к решению задачи линейного программирования [6]. Также в [6] продемонстрирован метод формирования оптимального управления в случае произвольных выпуклых ограничений на управление, основанный на проведении полиэдральной аппроксимации [9]. Такой подход обладает рядом недостатков, связанных в основном с вычислительными сложностями. Повышение точности гарантирующего решения в задаче быстродействия достигается за счет наращивания числа вершин полиэдральной аппроксимации, что в итоге приводит к экспоненциальному росту сложности соответствующих задач линейного программирования. По этой причине данный подход при реализации на стандартных вычислительных устройствах отличается либо малой точностью решения, либо сравнительно небольшим временным горизонтом особенно для систем большой размерности.
Напротив, сочетание условий оптимальности с дискретным принципом максимума [10-12] позволяет формировать оптимальное программное управление [4]. Однако существенным условием применимости данных методов является строгая выпуклость множества допустимых значений управления. С другой стороны, соотношение для начального состояния сопряженной системы в случае произвольной структуры ограничений на управление довольно трудно разрешить. В [7] представлен частный случай эллипсоидальной структуры множества допустимых значений управления, а также аналитическое решение задачи быстродействия для такой системы на основе необходимых и достаточных условий оптимальности, представленных в [4].
Естественным подходом является объединение идей построения гарантирующего решения из [6] на основе проведения эллипсоидальной аппроксимации множества допустимых значений управления в сочетании с методами формирования программного управления согласно принципу максимума [4, 7]. Методика эллипсоидальной аппроксимации широко распространена в теории оптимального управления [19, 13]. Однако класс эллипсоидов не позволяет добиться произвольной точности аппроксимации исходного множества, а следовательно, и точности решения задачи оптимального управления. С другой стороны, класс суперэллипсоидальных множеств [14, 15] допускает большой порядок точности при сохранении условий строгой выпуклости, что гарантирует простоту решения поставленной задачи аналогично [7].
Целью данной работы является разработка метода формирования оптимального управления в явном виде для случая суперэллипсоидальной структуры множества допустимых значений управления, а также описание подхода построения суперэллипсоидальной аппроксимации произвольного выпуклого тела с максимально возможной точностью на плоскости. Принципиальным отличие от известных результатов по данной тематике [16-18] является рассмотрение произвольного векторного управления, на значения которого наложены выпуклые ограничения.
Постановка задачи
 
 
 
Рис. 1. Исходное множество U (непрерывной линией) и ориентированное B^(-1) U (пунктирной линией)
Рис. 2. Исходное множество U (непрерывной линией) и ориентированное B^(-1) U (пунктирной линией)
 
Рис. 3. Исходное множество U и ориентированный суперэллипс B^(-1) E_(4/3) (a)
 

Заключение

В разделе 2 описана постановка задачи быстродействия и задачи аппроксимации. В разделе 3 рассматривается приведение сложноразрешаемых условий из принципа максимума к суперэллипсоидальной структуре ограничений, которую можно разрешить аналитически. В разделе 4 представлена внутренняя суперэллипсоидальная аппроксимация выпуклого тела, в частности рассмотрены подбор матрицы поворота суперэллипса, параметров суперэллипса, которые определяют форму и размеры суперэллипса. В разделе 5 приведен пример решения задачи быстродействия на основе доказанных утверждений.
Разработанные в статье методы могут быть использованы для проведения численных симуляций и моделирования динамики различных технических и естественных систем. Низкая сложность формирования программного управления и построения оптимальных процессов на основе принципа максимума позволяет как решить задачу быстродействия для заданного начального состояния, так и за приемлемое машинное время накопить большой объем модельных данных и различных траекторий для дальнейшего анализа системы. С другой стороны, аппарат суперэллипсоидальных аппроксимаций гарантирует большую точность в сравнении с классическими эллипсоидальными аппроксимационными методами.

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: Физматлит. 2012.
  2. Ашманов С.А., Тимохов С.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях // М.: Наука. 1991.
  3. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ // М.: Мир. 1973.
  4. Ибрагимов Д.Н., Сиротин А.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем и ограниченным управлением // АиТ. 2017. № 10. C. 3–32.
  5. Ибрагимов Д.Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // АиТ. 2019. № 3. C. 3–25.
  6. Ибрагимов Д.Н., Новожилкин Н.М., Порцева Е.Ю. О достаточных условиях оптимальности гарантирующего управления в задаче быстродействия для линейной нестационарной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2021. № 12. С. 48–72.
  7. Ибрагимов Д.Н. Оптимальная по быстродействию коррекция орбиты спутника [Электронный ресурс] // Тр. МАИ. 2017. № 94. Доступ в журн. http://trudymai.ru/published.php
  8. Беллман Р. Динамическое программирование // М.: ИИЛ. 1960.
  9. Каменев Г.К. Численное исследование эффективности методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел // М.: Вычислительный центр РАН. 2010.
  10. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Б.Ф. Математическая теория оптимальных процессов // М.: Наука. 1969.
  11. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами // М.: Наука. 1973.
  12. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов // М.: Наука. 1973.
  13. Kurzhanskiy A., Varaiya P. Ellipsoidal Techniques for Reachability Analysis of Discrete-Time Linear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2007. Vol. 52, №.1. P. 26–38. DOI: 10.1109/TAC.2006.887900
  14. Tobler W. R. Superquadrics and Angle-Preserving Transformations // IEEECGA. 1981. Vol. 1. №. 1. P. 11–23.
  15. Tobler W.R. The Hyperelliptical and Other New Pseudo Cylindrical Equal Area Map Projections // Journal of Geophysical Research. 1973. Vol. 78. №. 11. P. 1753–1759.
  16. Desoer C.A., Wing J. The Minimal Time Regulator Problem for Linear Sampled-Data Systems: General Theory // J. Franklin Inst. 1961. Vol. 272. №. 3. P. 208–228.
  17. Lin W.-S. Time-Optimal Control Strategy for Saturating Linear Discrete Systems // Int. J. Control. 1986. Vol. 43. №. 5. P. 1343–1351.
  18. Мороз А.И. Синтез оптимального по быстродействию управления для линейного дискретного объекта третьего порядка // АиТ. 1965. № 2. С. 193–207.
  19. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов // М.: Наукa. 1988.
  20. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ // М.: Мир. 1989.
  21. Ибрагимов Д.Н., Берендакова А.В. Метод построения и оценивания асимптотических множеств управляемости двумерных линейных дискретных систем с ограниченным управлением // Труды МАИ. 2022. № 126. DOI: 10.34759/trd-2022-126-17

Информация об авторах

Ибрагимов Данис Наилевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Теория вероятностей и компьютерное моделирование», Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7472-5520, e-mail: rikk.dan@gmail.com

Подгорная Виолетта Михайловна, магистрант, инженер кафедры теории вероятностей и компьютерного моделирования, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ), Москва, Россия, ORCID: https://orcid.org/0009-0004-9956-3002, e-mail: vita1401@outlook.com

Метрики

Просмотров

Всего: 140
В прошлом месяце: 10
В текущем месяце: 8

Скачиваний

Всего: 44
В прошлом месяце: 3
В текущем месяце: 1