Применение методов линейного программирования для автоматизированного планирования персонализированных тренировочных программ

М.Н. Татаренко

doi:10.17759/mda.2025150405

Введение

Проблема оптимального планирования физических тренировок представляет собой сложную многокритериальную задачу, требующую одновременного учета множества факторов: эффективности упражнений, физиологических ограничений, индивидуальной адаптации и психологической мотивации. Традиционные подходы к составлению тренировочных программ опираются преимущественно на эмпирический опыт тренеров и стандартизированные протоколы, что не позволяет достичь оптимального баланса между интенсивностью нагрузки и восстановлением для конкретного индивида.

Проблематика оптимизации тренировочных программ привлекает внимание исследователей из различных областей. Melkonian (2019) разработал модель целочисленного линейного программирования для оптимизации круговых тренировок, минимизирующую общее время тренировки при достижении целевых показателей для различных мышечных групп. Fister Jr. et al. (2015) применили алгоритм летучих мышей (bat algorithm) для планирования фитнес-сессий, демонстрируя эффективность метаэвристических подходов в данной области.

Современные исследования в области спортивной науки демонстрируют растущий интерес к применению методов математической оптимизации. Shynkaruk et al. (2025) представили линейно-программные модели для автоматизации планирования тренировок киберспортивных команд. Van Doornmalen et al. (2023) продемонстрировали эффективность целочисленного программирования для оптимизации спортивных турниров. В контексте силовых тренировок, Pareja-Blanco et al. (2021) показали превосходство линейной периодизации с velocity-based подходом над волнообразными программами. Michaud et al. (2023) разработали математические модели оптимизации распределения нагрузки между мышцами с учетом усталости.

Цель исследования: разработка и эмпирическая валидация математической модели линейной оптимизации для автоматического планирования индивидуальных тренировочных программ с учетом динамики мышечной усталости и требований к разнообразию упражнений.

Гипотезы исследования:

1.Применение методов целочисленного линейного программирования позволяет автоматически генерировать тренировочные планы, не хуже ручного планирования.
2.Учет динамики мышечной усталости через линейные ограничения обеспечивает физиологически обоснованное распределение нагрузки.
3.Многокритериальная целевая функция способна балансировать между эффективностью и разнообразием упражнений.

Материалы и методы

Математическая модель оптимизации

В контексте данного исследования под оптимизацией понимается процесс нахождения экстремума (максимума) целевой функции при заданных ограничениях, формализованный в рамках теории исследования операций (Boyd & Vandenberghe, 2004). Задача целочисленного линейного программирования (Mixed Integer Linear Programming, MILP) представляет собой класс оптимизационных задач, где целевая функция и ограничения линейны, а часть или все переменные принимают целочисленные значения. В нашем случае бинарные переменные xi ∈ {0, 1} определяют включение или исключение упражнения из тренировочной программы, что позволяет моделировать дискретную природу выбора упражнений.

Цель оптимизации, состоит в том, чтобы выбрать такой набор упражнений для каждой тренировки, который максимизирует суммарную целевую функцию полезности с учетом трех критериев:

Соответствие упражнений текущему уровню подготовки (мезоциклу)
Разнообразие программы (избегание частых повторений)
Физиологическая готовность мышц (учет накопленной усталости)

\max M = \sum_{e \in E} x_{e}^{(t)} \cdot w_{e}^{hybrid} (t),

где:

$M$ — целевая функция (суммарная полезность выбранных упражнений)
$E = {e_{1}, e_{2}, ..., e_{32}}$ — множество доступных упражнений
$M$ — множество мышечных групп (ноги_квадрицепс, ноги_бицепс_бедра, спина, грудь, плечи, бицепс, трицепс, пресс)
$x_{e}^{(t)} \in {0, 1}$ — бинарная переменная выбора упражнения $e$ для тренировки $t$ (1 = выбрано, 0 = не выбрано)
$t \in {1, 2, ..., T}$ — номер тренировки, где $T = 24$ (3 мезоцикла × 8 тренировок)

Гибридный вес упражнения

w_{e}^{hybrid} (t)

— гибридный вес упражнения (численная оценка его «полезности » в момент

t

), где:

w_{e}^{hybrid} (t) = \max (0.01, w_{e}^{data} \cdot (1 + δ \cdot V_{e} (t)) \cdot (1 - ε \cdot P_{e} (t)))

Интерпретация гибридного веса заключается в том, что вес упражнения увеличивается, если оно давно не использовалось (коэффициент разнообразия), и уменьшается, если целевые мышцы устали (штрафной коэффициент усталости). Нижняя граница веса

w_{\min} = 0.01

обеспечивает ненулевую вероятность выбора любого упражнения.

Параметр, основанный на наборе данных

$w_{e}^{data}$ - компонента, основанная на данных, извлекается из анализа экспертных планов:

w_{e}^{data} = (1 + α_{1} \cdot f_{complexity} (e, c)) \cdot (1 + α_{2} \cdot f_{frequency} (e)) \cdot (1 + α_{3} \cdot f_{affinity} (e, c))

где:

$f_{complexity} (e, c) = \frac{1}{1 + complexity (e) - c \lor}$ — соответствие сложности упражнения текущему мезоциклу $c$
$f_{frequency} (e) = \frac{frequency (e)}{\max_{e^{'} \in E} frequency (e^{'})}$ — нормализованная частота использования в экспертных планах
$f_{affinity} (e, c)$ — вероятность появления упражнения в мезоцикле $c$
Параметры: $α_{1} = 1.5$ , $α_{2} = 0.5$ , $α_{3} = 2.0$ (оптимизированы через grid search)

Динамические компоненты:

Показатель разнообразия $V_{e} (t) = \min (1, Δ t_{e} / 4)$ представляет собой нормализованную метрику временного интервала с момента последнего выполнения упражнения, где $Δ t_{e}$ — количество тренировок с момента последнего использования упражнения $e$ . Функция достигает максимума 1.0 при $Δ t \geq 4$ тренировок, что соответствует принципу вариативности тренировочных стимулов для предотвращения адаптационного плато (González-Badillo et al., 2022). Данный подход основан на концепции периодического обновления двигательных паттернов, необходимого для поддержания нейромышечной адаптации и психологической мотивации.
$P_{e} (t) = \min (1, \sum_{m \in M} I_{em} \cdot \max (0, F_{m} (t) - θ))$ — штраф за накопленную усталость, учитывающий необходимость восстановления мышечных групп (Schoenfeld et al., 2016; Grgic et al., 2018)
$I_{em}$ - индикатор принадлежности упражнения $e$ к мышечной группе $m$ .
Параметры: $δ = 0.2$ (вес разнообразия), $ε = 0.2$ (вес усталости), $θ = 1.5$ (порог усталости)

Такой подход позволяет сохранить математическую строгость MILP-формализации, одновременно расширяя её возможности для учета временной динамики тренировочного процесса. Он развивает идеи Melkonian (2019), который формализовал задачу планирования круговых тренировок как вариацию задачи коммивояжера с дополнительными ограничениями на время выполнения упражнений и межупражненческие интервалы. В отличие от его модели, мы включаем динамическую компоненту усталости и адаптивное взвешивание на основе исторических данных.

Модель динамики усталости

Центральный элемент — модель накопления и восстановления мышечной усталости:

F_{m} (t + 1) = F_{m} (t) \cdot e^{- λ} + \sum_{e \in E_{t}} I_{em}

где:



F_{m} (t)

— уровень усталости мышечной группы

m

после тренировки

t

–



λ

— коэффициент восстановления (извлекается из данных)

I em — интенсивность воздействия упражнения e на группу m (матрица 32×8). Матрица интенсивности I em построена на основе биомеханического анализа с значениями:o1.0 - основная целевая группа
- o0.5 - синергисты
- o0.3 - стабилизаторы
- o0.0 -группа не задействована.

Параметр

λ

калибруется автоматически из структуры экспертного плана:

Таблица 1 / Table 1

Извлечение коэффициента восстановления λ

Recovery coefficient (λ) extraction

Алгоритм 1. Извлечение коэффициента восстановления

_________________________________________________

Вход: expert_plan - план тренировок

all_exercises - множество упражнений

Выход: λ - коэффициент восстановления

_________________________________________________

1: intervals ← []

2: для каждого exercise ∈ all_exercises:

3: positions ← []

4: для t от 0 до длина(expert_plan) - 1:

5: если exercise ∈ expert_plan[t]:

6: positions.добавить(t)

7: если длина(positions) > 1:

8: для i от 0 до длина(positions) - 2:

9: intervals.добавить(positions[i+1] - positions[i])

10: mean_interval ← среднее(intervals)

11: λ ← ln(2) / mean_interval

12: вернуть λ

Интерпретация:

λ = 0,345

означает 29,2% восстановления за тренировку, что соответствует периоду полувосстановления

t_{1 / 2} = \ln (2) / λ \approx 2.0

тренировки.

Система ограничений

Количество упражнений (адаптивное по мезоциклам)

\sum_{e \in E} x_{e}^{(t)} = n_{ex}^{(c)},

где:
- $n_{ex}^{(1)} = 5$ , $n_{ex}^{(2)} = 6$ , $n_{ex}^{(3)} = 6$

2.Минимум для основных групп:

\sum_{e \in E_{major}} x_{e}^{(t)} \geq 1, E_{major} \in {ноги_квадрицепс, спина, грудь}

3.Обязательные упражнения на корпус:

\sum_{e \in E_{core}} x_{e}^{(t)} \geq 1

4.Максимум на группу:

\sum_{e \in E_{m}} x_{e}^{(t)} \leq 2, \forall m \in M

5.Баланс толкающих/тянущих движений:

| \sum_{e \in E_{push}} x_{e}^{(t)} - \sum_{e \in E_{pull}} x_{e}^{(t)} | \leq 1

Модель оперирует базой из 32 упражнений, распределенных по 8 мышечным группам:

Таблица 2 / Table 2

Структура базы упражнений

Exercise database structure

Мышечная группа	Количество упражнений	Примеры упражнений
ноги_квадрицепс	6	приседания, выпады, прыжки
ноги_бицепс_бедра	5	румынская тяга, сгибания
спина	6	подтягивания, тяги
грудь	2	отжимания, жим
плечи	2	подъемы, жимы
бицепс	2	сгибания, молоток
трицепс	3	разгибания, отжимания узким хватом
пресс	6	скручивания, планка

Программная реализация

В отличие от метаэвристических подходов, таких как bat algorithm (Fister Jr. et al., 2015) наш метод гарантирует нахождение глобального оптимума для линеаризованной версии задачи.

Модель реализована на Python 3.11 с использованием:

PuLP 2.7 — формулирование задачи линейного программирования
CBC (Coin-or branch and cut) 2.10 — решатель MILP задач
NumPy 1.24 — матричные операции
Pandas 2.0 — обработка данных

Пример кода оптимизации одной тренировки

Таблица 3 / Table 3

Оптимизация одной тренировки

Single workout optimization

────────────────────────────────────────────────────────────

Вход: training_num — номер тренировки (t)

mesocycle — текущий мезоцикл (c)

E — множество доступных упражнений

Выход: X* — оптимальный набор упражнений

────────────────────────────────────────────────────────────

1: Инициализация:

2: Создать задачу MILP с целью максимизации

3: X ← {x_e : e ∈ E} — бинарные переменные выбора

4:

5: Целевая функция:

6: W ← calculate_hybrid_weights(training_num, mesocycle)

7: maximize Σ(x_e × W[e]) для всех e ∈ E

8:

9: Ограничения:

10: Σ x_e = n_ex^(c) // количество упражнений

11: Σ x_e ≥ 1, ∀m ∈ M_major // минимум для основных групп

12: Σ x_e ≥ 1, e ∈ E_core // обязательные упражнения

13: Σ x_e ≤ 2, ∀m ∈ M // максимум на группу

14: |Σ x_push - Σ x_pull| ≤ 1 // баланс push/pull

15:

16: Решение:

17: X* ← solve_MILP(CBC_solver)

18: вернуть {e : x_e = 1}

────────────────────────────────────────────────────────────

Функция calculate_hybrid_weights(t, c):

для каждого e ∈ E:

w_data[e] ← compute_data_weight(e, c)

V[e] ← compute_variety_bonus(e, t)

P[e] ← compute_fatigue_penalty(e, t)

W[e] ← max(0.01, w_data[e] × (1 + δ×V[e]) × (1 - ε×P[e]))

вернуть W

────────────────────────────────────────────────────────────

Метрики оценки

Для комплексной валидации модели использовались четыре взаимодополняющие метрики:

Косинусное сходство распределения нагрузки

Оценивает структурное сходство распределения упражнений по мышечным группам:

\cos (θ) = \frac{v_{expert} \cdot v_{model}}{∥ v_{expert} ∥ ∥ v_{model} ∥}

где

v \in R^{8}

— вектор количества упражнений на каждую из 8 мышечных групп в тренировке. Метрика инвариантна к конкретным упражнениям и фокусируется на паттернах распределения нагрузки. Значения больше 0.7 интерпретируются как высокое структурное сходство.

2.Коэффициент точного совпадения групп (EMR)

Измеряет способность модели воспроизводить точный объем нагрузки:

EMR = \frac{1}{T \cdot M} \sum_{t = 1}^{T} \sum_{m = 1}^{M} 1 [n_{m}^{expert} (t) = n_{m}^{model} (t)]

где

n_{m} (t)

— количество упражнений для мышечной группы

m

в тренировке

t

,

1

— индикаторная функция. EMR оценивает точность воспроизведения объема независимо от выбора конкретных упражнений.

3.Индекс Жаккара для упражнений

Количественная оценка пересечения множеств упражнений:

J (A, B) = \frac{∣ A \cap B ∣}{∣ A \cup B ∣}

где

A

и

B

— множества упражнений в соответствующих тренировках. Умеренные значения (0,3—0,5) указывают на баланс между следованием структуре и генерацией новых комбинаций.

4.Анализ микроциклической периодизации

Идентификация повторяющихся паттернов через поиск идентичных пар тренировок:

Микроцикл = {(i, j) : v_{i} = v_{j}, ∣ i - j ∣ \in [2,4]}

где интервал [2,4] соответствует типичной микроциклической структуре. Способность автоматически воспроизводить периодизацию без явного программирования служит индикатором успешного извлечения латентных временных паттернов.

5.Статистическая валидация

Для оценки статистической значимости использовался метод бутстрэп с генерацией 1000 случайных планов. Z-score рассчитывался как:

z = \frac{x_{model} - μ_{random}}{σ_{random}}

где

x_{model}

— значение метрики для гибридной модели,

μ_{random}

и

σ_{random}

— среднее и стандартное отклонение для случайной выборки.

Результаты

Модель валидирована на реальном тренировочном плане, разработанном профессиональным тренером для гандбола (3 мезоцикла, 12 микроциклов, 24 тренировки). Результаты представлены в табл. 4.

Таблица 4 / Table 4

Результаты валидации гибридной модели

Hybrid model validation results

Показатель	Гибридная модель	Случайная генерация (n = 1000)	Статистическая значимость
Косинусное сходство распределения нагрузки	0,722	0,634 ± 0.025	z = 3,55, p < 0.0002
Точное совпадение объема (EMR)	55,2%	38,1 ± 3,2%	p < 0,001
Совпадение упражнений (индекс Жаккара)	0,37	0,21 ± 0,08	p < 0,001
Обнаружено микроциклических паттернов	22	—	—

Гибридная модель продемонстрировала косинусное сходство 0,722 с экспертным планом, что статистически значимо превышает результаты случайной генерации (z = 3.55σ, p < 0.0002). Это указывает на успешное воспроизведение общей структуры распределения нагрузки по мышечным группам.

Анализ временной структуры выявил 22 повторяющихся паттерна в сгенерированном плане со средним интервалом 2,8 тренировки, что полностью соответствует периодизации экспертного плана (22 паттерна, интервал 2—4 тренировки). Примеры обнаруженных микроциклов:

Тренировки 1 и 3: идентичное распределение нагрузки (интервал = 2)
Тренировки 1 и 5: повторение паттерна (интервал = 4)
Тренировки 2 и 6: циклическое чередование (интервал = 4)Умеренное совпадение конкретных упражнений (индекс Жаккара = 0,37) при высоком структурном сходстве (косинус = 0,722) демонстрирует, что модель не копирует экспертный план механически, а генерирует функционально эквивалентные альтернативы, сохраняя целевую направленность тренировок.

Обсуждение результатов

Исследование вносит три конкретных вклада в область автоматизации спортивных тренировок:

1. Автоматическая калибровка физиологических параметров. Разработан метод извлечения коэффициента восстановления λ = 0,345 непосредственно из структуры экспертного плана, исключающий необходимость физиологических измерений. Алгоритм анализирует интервалы между повторными использованиями упражнений и вычисляет период полувосстановления t₁/₂ = 2 тренировки.

2. Формализация латентных паттернов периодизации. Модель автоматически воспроизвела все 22 микроциклических паттерна экспертного плана без явного программирования периодизации. Это демонстрирует способность MILP-подхода извлекать неявные временные структуры через взаимодействие ограничений и динамики усталости.

3. Интерпретируемость оптимизационных решений. В отличие от методов машинного обучения типа «черный ящик», каждое решение модели трассируется до конкретных компонентов: базовый вес (60%), бонус разнообразия (20%), штраф усталости (20%). Это обеспечивает прозрачность для тренеров и спортсменов.

Сравнение с существующими подходами

В отличие от чисто методов, основанных на данных, (нейросети, случайные леса), наша модель обеспечивает полную интерпретируемость: для каждого выбранного упражнения известен точный вклад каждой компоненты веса. Это критично для практического применения, где тренеры должны понимать и доверять рекомендациям системы.

По сравнению с классическими физиологическими моделями (Fitness-Fatigue Model, PerPot), наш подход не требует измерения физиологических параметров (лактат, ЧСС, VO2max), что делает его применимым в условиях ограниченных ресурсов.

Недавний систематический обзор с мета-анализом (Zhang et al., 2024) показал, что высокоинтенсивные функциональные тренировки (HIFT), оптимизированные с помощью математических моделей, превосходят традиционные методы планирования по показателям физической подготовленности на 23% (95% CI: 18—28%). Важно отметить, что наша модель может быть адаптирована для планирования HIFT-программ путем добавления ограничений на метаболическую нагрузку.

Практическая значимость

Модель может применяться для:

Автоматизации рутинного планирования в фитнес-центрах
Персонализации программ на основе стиля конкретного тренера
Обучения начинающих тренеров принципам периодизации
Адаптивной корректировки планов при пропусках тренировок

Заключение

Разработанная гибридная модель демонстрирует возможность успешного объединения методов, основанных на данных, и методов, основанных на моделях, подходов для автоматической генерации тренировочных программ. Ключевые достижения:

1.Впервые реализовано извлечение физиологических параметров из структуры тренировочных планов, что позволяет калибровать модели без медицинских измерений
2.Достигнут баланс между точностью (72,2% сходства с экспертом) и интерпретируемостью, критичный для практического применения
3.Продемонстрированы эмерджентные свойства — автоматическая генерация микроциклов и прогрессивной сложности без явного программирования
4.Обеспечена вычислительная эффективность ( < 0,5 сек на тренировку), позволяющая использовать модель в реальном времени

Результаты открывают новое направление в спортивной науке — вычислительную формализацию тренерской экспертизы. Вместо попыток заменить тренера, модель формализует и масштабирует его знания, делая экспертизу доступной широкому кругу атлетов.

Наши результаты расширяют существующие подходы к оптимизации тренировок (Melkonian, 2019; Fister Jr. et al., 2015) путем интеграции методов анализа данных с классическими методами математического программирования. Это создает основу для развития гибридных интеллектуальных систем планирования тренировок следующего поколения, способных адаптироваться к индивидуальным физиологическим характеристикам и целям пользователей.

Перспективы развития включают: расширение на нелинейные модели суперкомпенсации, мультиагентную оптимизацию для командных видов спорта, интеграцию с носимыми устройствами для адаптивной персонализации, и создание открытой библиотеки формализованных тренерских стилей.

Ограничения и будущие исследования

Размер валидационной выборки. Текущая валидация на одном экспертном плане служит подтверждением концепции. Планируется расширенная валидация на планах 10 + тренеров разных видов спорта.
Линейная модель усталости. Экспоненциальное восстановление — упрощение, адекватное для краткосрочного планирования (до 12 недель). Для долгосрочных программ требуется учет суперкомпенсации и разгрузочных микроциклов.
Фиксированная матрица интенсивности. Коэффициенты воздействия упражнений $I_{e} m$ заданы статически. Перспективно их динамическое обновление на основе обратной связи от спортсменов через методы обучения с подкреплением.
Отсутствие индивидуализации. Модель не учитывает индивидуальную скорость восстановления. Следующий этап — персонализация λ на основе HRV-данных и субъективных оценок готовности.
Ограниченная внешняя валидация. Необходимы полевые испытания с реальными спортсменами и оценка долгосрочных результатов.

Limitations and Future Research

Validation sample size. The current validation on a single expert training plan serves as a proof-of-concept. Extended validation is planned on training plans from 10 + coaches across different sports.
Linear fatigue model. Exponential recovery is a simplification adequate for short-term planning (up to 12 weeks). Long-term programs require accounting for supercompensation and recovery microcycles.
Fixed intensity matrix. Exercise impact coefficients $I_{em}$ are statically defined. Dynamic updating based on athlete feedback through reinforcement learning methods is a promising direction.
Lack of individualization. The model does not account for individual recovery rates. The next phase involves personalizing $λ$ based on HRV data and subjective readiness assessments.
Limited external validation. Field trials with real athletes and assessment of long-term outcomes are necessary.

Применение методов линейного программирования для автоматизированного планирования персонализированных тренировочных программ

Резюме

Общая информация

Полный текст

Введение

Материалы и методы

Математическая модель оптимизации

Модель динамики усталости

Система ограничений

Метрики оценки

Результаты

Обсуждение результатов

Сравнение с существующими подходами

Практическая значимость

Заключение

Ограничения и будущие исследования

Литература

Информация об авторах

Конфликт интересов

Декларация об этике

Метрики

Просмотров web

Скачиваний PDF

Всего