Skip to Main Content

Modelling and Data Analysis
2025. Vol. 15, no. 2, 110–126
doi:10.17759/mda.2025150206
ISSN: 2219-3758 / 2311-9454 (online)

Estimation of the Accuracy of Approximation of Reachable Sets of a Linear System with Geometric Constraints for Various Types of Discretization

 
Audio is AI-generated
22

PDF (RUS)
Online translation in english
GS
Information
in Google Scholar
Metrics

Abstract

Goal: Solve the problem of constructing reachability sets of a linear continuous system with geometric control constraints. Methods: The discretization of the initial continuous system is considered as a solution method. Results: For piecewise constant, piecewise linear, and spline-like controls, equivalent discrete systems are obtained explicitly. A theorem on the rate of convergence in the Hausdorff metric of sets of reachability of auxiliary systems to the set of reachability of the initial system is proved, depending on the type of approximation. Numerical calculations have been performed. Conclusions: The obtained theoretical results can be used in solving analysis problems and for designing linear systems. Depending on the type of continuous control chosen, the corresponding discrete model may have greater accuracy in terms of reachability areas, which, however, will complicate its description.

General Information

Keywords: linear system, reachable set, discrete approximation, discretization, piecewise-constant control, piecewise-linear control, Hausdorff metric

Journal rubric: Numerical Methods

Article type: scientific article

DOI: https://doi.org/10.17759/mda.2025150206

Received 17.03.2025

Accepted

Published

For citation: Vuksanovic, S.M. (2025). Estimation of the Accuracy of Approximation of Reachable Sets of a Linear System with Geometric Constraints for Various Types of Discretization. Modelling and Data Analysis, 15(2), 110–126. (In Russ.). https://doi.org/10.17759/mda.2025150206

© Vuksanovic S.M., 2025

License: CC BY-NC 4.0

References

  1. Арутюнов, А.В., Жуковский, С.Е. (2017) Точки совпадения отображений в пространствах с векторной метрикой и их приложения к дифференциальным уравнениям и управляемым системам // Дифференц. уравнения. Т. 53. № 11. С. 1473–1481.
    Arutyunov, A.V., Zhukovsky, S.E. (2017) Coincidence points of mappings in spaces with a vector metric and their applications to differential equations and control systems // Differential Equations. V. 53. № 11. P. 1473–1481.
  2. Беллман, Р. (1960) Динамическое программирование. М.: ИИЛ.
    Bellman, R. (1960) Dynamic programming. Moscow: IIL. (In Russ.).
  3. Булаев, В.В., Шориков, А.Ф. (2017) Методика дискретизации линейных динамических систем // Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. Т. 132. С. 20–23.
    Bulaev, V.V., Shorikov, A.F. (2017) Methodology for discretization of linear dynamic systems // Results of science and technology. Modern mathematics and its applications. Subject review. V. 132. P. 20–23.
  4. Жуковский, Е.С. (2016) О точках совпадения векторных отображений // Изв. вузов. Математика. № 10. С. 14–28.Zhukovsky, E.S. (2016) On the coincidence points of vector mappings // Izv. vuzov. Mathematics. № 10. P. 14–28.
  5. Жуковский, Е.С., Панасенко, Е.А. (2018) О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Тр. ИММ УрО РАН. Т. 24. № 1. С. 93–105. DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-93-105.
    Zhukovsky, E.S., Panasenko, E.A. (2018) On fixed points of multivalued mappings in spaces with vector-valued metric // Proceedings of IMM UB RAS. V. 24. № 1. P. 93–105. DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-93-105.
  6. Зорич, В.А. (1984) Математический анализ. Часть I. М.: Наука.
    Zorich, V.A. (1984) Mathematical analysis. Part I. Moscow.: Science (In Russ.).
  7. Зыков, И.В. (2022) Приближённое вычисление множеств достижимости линейных управляемых систем при разнотипных ограничениях на управление // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. Т. 60. С. 16–33.
    Zykov, I.V. (2022) Approximate calculation of reachability sets of linear control systems under different types of control constraints // Bulletin of the Institute of Mathematics and Informatics of the Udmurt State University. V. 60. P. 16–33.
  8. Ибрагимов, Д.Н. (2019) О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // АиТ. № 3. C. 3–25. DOI: 10.1134/S
    Ibragimov, D.N. (2019) On the Optimal Speed Problem for the Class of Linear Autonomous Infinite-Dimensional Discrete-Time Systems with Bounded Control and Degenerate Operator // Autom. Remote Control. V. 80. № 3. P. 393–412. DOI: 10.1134/S0005117919030019.
  9. Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. (2012) Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 570с.
    Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V. (2012) Elements of function theory and functional analysis. Moscow: Fizmatlit, 570 p. (In Russ.).
  10. Комаров, В.А. (1988) Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями // Тр. мат. инта АН СССР им. В.А.Стеклова. Т. 185. С. 116–125.
    Komarov, V.A. (1988) Equation of attainability sets of differential inclusions in a problem with phase constraints // Proceedings of the Mat. Inst. of the USSR Academy of Sciences named after V.A. Steklov. V. 185, P. 116–125.
  11. Красовский, Н.Н. (1970) Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука.
    Krasovskiy, N.N. (1970) Game problems about meeting of movements. Moscow: Science (In Russ.).
  12. Куржанский, A.B., Никонов, О.И. (1993) Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Докл. РАН. Т. 333. № 5. С. 578–581.
    Kurzhansky, A.V., Nikonov, O.I. (1993) Evolutionary equations for trajectory bundles of synthesized control systems // Reports of the Russian Academy of Sciences. V. 333. № 5. P. 578–581.
  13. Максимов, В.П. (2021) О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью // Труды Института математики и механики УрО РАН. Т. 27. № 3. С. 141–151. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-141-151.
    Maksimov, V.P. (2021) On interior estimates of reachability sets for continuous-discrete systems with discrete memory // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. V. 27. № 3. P. 141–151. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-141-151.
  14. Мордухович, Б.Ш. (1988) Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука.
    Mordukhovich, B.S. (1988) Approximation methods in optimization and control problems. Moscow: Science (In Russ.).
  15. Никольский, М.С. (2021) Линейные управляемые объекты с фазовыми ограничениями. Приближенное вычисление множеств достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. Т. 27. № 2. С. 162–168. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-162-168.
    Nikolsky, M.S. (2021) Linear Controlled Objects with Phase Constraints. Approximate Calculation of Reachability Sets // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. V. 27. № 2. P. 162–168. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-162-168.
  16. Панасюк, А.И., Панасюк, В.И. (1980) Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Мат. заметки. Т. 27. № 3. С. 429–437.
    Panasyuk, A.I., Panasyuk, V.I. (1980) On an equation generated by a differential inclusion // Mat. notes. V. 27. № 3. P. 429–437.
  17. Понтрягин, Л.С., Болтянский, В.Г., Гамкрелидзе, Р.В., Мищенко, Б.Ф. (1969) Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука.
    Pontryagin, L.S., Boltyanskiy, V.G., Gamkrelidze, R.V., Mishchenko, B.F. (1969) Mathematical theory of optimal processes. Moscow: Science (In Russ.).
  18. Толстоногов, A.A. (1982) Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Мат. заметки. Т. 32. № 6. С. 841–852. DOI: 10.1007/BF01145876.
    Tolstonogov, A.A. (1982) On the equation of the integral funnel of a differential inclusion // Mat. notes. V. 32. № 6. P. 841–852. DOI: 10.1007/BF01145876.
  19. Формалев, В.Ф., Ревизников, Д.Л. (2004) Численные методы. М.: Физматлит.
    Formalev, V.F., Reviznikov, D.L. (2004) Numerical methods. Moscow: Fizmatlit.
  20. Хартман, Ф. (1970) Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир.
    Hartman, F. (1970) Ordinary Differential Equations. Moscow: World.

Information About the Authors

Stanislav M. Vuksanovic, Student of the Department of Probability Theory and Computer Modeling, Moscow Aviation Institute (national research university) (MAI), Moscow, Russian Federation, ORCID: https://orcid.org/0009-0005-0210-8896, e-mail: stas.vuksanovic@mail.ru

Metrics

 Web Views

Whole time: 105
Previous month: 39
Current month: 8

 PDF Downloads

Whole time: 22
Previous month: 4
Current month: 1

 Total

Whole time: 127
Previous month: 43
Current month: 9