Перспективные направления нелинейной фильтрации случайных процессов в непрерывных стохастических системах

В статье излагается методический подход к нелинейной фильтрации многомерных негауссовых случайных процессов, наблюдаемых в непрерывных стохастических динамических системах с фиксированной структурой. Высокая точность разработанных алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации обусловлена за счет итерационного учета в них высших апостериорных центральных моментов фильтруемого процесса в общем случае произвольного порядка. Адаптивность разработанных алгоритмов высокоточной нелинейной фильтрации обеспечивается путем расчета на ЭВМ в реальном времени апостериорных асимметрий и апостериорных эксцессов всех фазовых координат фильтруемого случайного процесса, последующего их сравнения с пороговыми значениями, соответствующими гауссовому процессу, и, при необходимости, путем итерационного учета в алгоритмах фильтрации высших апостериорных центральных моментов фильтруемого процесса. Кроме того, рассмотрено современное направление в теории оптимальной нелинейной фильтрации: применение последовательных методов Монте-Карло.

В статье излагается методический подход к нелинейной фильтрации многомерных негауссовых случайных процессов, наблюдаемых в непрерывных стохастических динамических системах с фиксированной структурой. Высокая точность разработанных алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации обусловлена за счет итерационного учета в них высших апостериорных центральных моментов фильтруемого процесса в общем случае произвольного порядка. Адаптивность разработанных алгоритмов высокоточной нелинейной фильтрации обеспечивается путем расчета на ЭВМ в реальном времени апостериорных асимметрий и апостериорных эксцессов всех фазовых координат фильтруемого случайного процесса, последующего их сравнения с пороговыми значениями, соответствующими гауссовому процессу, и, при необходимости, путем итерационного учета в алгоритмах фильтрации высших апостериорных центральных моментов фильтруемого процесса. Кроме того, рассмотрено современное направление в теории оптимальной нелинейной фильтрации: применение последовательных методов Монте-Карло.

ВВЕДЕНИЕ

Методы и алгоритмы оптимальной фильтрации случайных процессов (СП) применяются во многих прикладных задачах, например задачах приема радиосигналов на фоне помех, при управлении движущимися объектами: космическими аппаратами, воздушными и морскими судами, подводными аппаратами, наземными средствами передвижения в условиях неточных измерений параметров движения, при обработке телеметрической информации, информации с навигационных спутниковых систем или автономных систем позиционирования, задачах радиолокации, задачах параметрической идентификации и распознавания образов [6; 16; 18]. Разработка новых эффективных методов и алгоритмов, позволяющих решать задачи оптимальной фильтрации для нелинейных стохастических систем, не теряет своей актуальности.

Математическое описание в перечисленных выше и многих других задачах можно рассматривать в классе нестационарных нелинейных непрерывных стохастических динамических систем с фиксированной структурой (ДСФС).

В настоящее время для оценивания СП наиболее широко используется теория кал- мановской фильтрации (КФ), которая позволяет получить замкнутые алгоритмы оценивания [2; 8; 14-16; 18]. Однако теория КФ эффективно работает только при гауссовой или близкой к ней плотности распределения вероятностей (ПРВ) фильтруемого СП и линейном канале наблюдения, но достаточно часто ПРВ фильтруемого СП не является гауссовой. В современной теории оптимальной нелинейной фильтрации негауссовых СП используются приближенные методы, основанные на параметрической или функциональной аппроксимации апостериорной ПРВ, либо методы Монте-Карло.

К методам параметрической аппроксимации относятся: моментный, квазимомент- ный, кумулянтный (семиинвариантный), моментно-семиинвариантный методы [1-5; 8; 14; 15]. Суть методов параметрической аппроксимации заключается в получении системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) первого порядка для определения числовых характеристик апостериорной ПРВ: начальных или центральных моментов, кумулянтов (семиинвариантов) или квазимоментов.

К методам функциональной аппроксимации негауссовой ПРВ относятся [1-5; 8; 11; 14; 15]: метод аппроксимации ПРВ отрезком ряда Грама-Шарлье, Эджворта или Лагерра; метод полигауссовой аппроксимации ПРВ, заключающийся в ее более точной аппроксимации суммой гауссовых ПРВ; метод эллипсоидальной аппроксимации и спектральный метод. Каждый из указанных методов имеет свои достоинства и недостатки.

В качестве альтернативы методам параметрической и функциональной аппроксимации негауссовой апостериорной ПРВ можно рассматривать несколько подходов. Один из них - метод условно-оптимальной фильтрации В.С. Пугачева [14], в котором не используются процедуры нахождения апостериорной ПРВ фильтруемого СП, а формируется структура оптимального фильтра определенного порядка, выбор которого осуществляется на основе компромисса между точностью и возможностью реализации в реальном масштабе времени. Развитием метода условно-оптимальной фильтрации является непараметрический синтез непрерывного фильтра оптимальной структуры [9; 10]. Другой подход - использование последовательных методов Монте-Карло. Фильтры такого типа в настоящее время достаточно популярны. Они называются фильтрами частиц [17] и основаны на моделировании СП с последующей статистической обработкой результатов.

В этой статье излагается методика адаптивной нелинейной фильтрации многомерных негауссовых СП, наблюдаемых в стохастических ДСФС, базирующаяся на комплексном использовании методов параметрической и функциональной аппроксимации негауссовой апостериорной ПРВ, а также один из возможных вариантов фильтров частиц.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ФИКСИРОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ

Проведенные исследования показали, что при решении задачи высокоточной нелинейной фильтрации негауссовых многомерных СП, наблюдаемых в непрерывных стохастических ДСФС, необходимо комплексно использовать как методы параметрической, так и функциональной аппроксимации апостериорной ПРВ [4; 5], в частности: «обычный» и модифицированный моментно-семиинвариантный методы, разработанные М.Л. Дашевским, А.Г. Кашкаровой и В.И. Шином [1; 3]; методы аппроксимации апостериорной ПРВ отрезком ряда Эджворта или Лагерра.

Данные методы позволяют интегрировать более простые дифференциальные уравнения для апостериорных центральных моментов фильтруемого СП, а выбор максимального порядка учитываемых апостериорных центральных моментов производится путем расчета по формулам связи апостериорных кумулянтов (семиинвариантов) фильтруемого СП с последующим приравниванием нулю нормированных к дисперсии кумулянтов высших порядков, значения которых равны или меньше заданных пороговых значений (например, 2-5% от значения апостериорных дисперсий, которые характеризуют точность фильтрации).

Для решения задачи нелинейной фильтрации СП в стохастических ДСФС можно применять последовательные методы Монте-Карло, а именно алгоритмы непрерывных фильтров частиц [12; 13]. В их основе лежит моделирование траекторий стохастической ДСФС согласно системе нелинейных СДУ (1). Каждой траектории ставится в соответствие весовая функция, значения которой вычисляются на основе измерений (2). Получение оценок фильтруемого СП осуществляется с помощью статистической обработки результатов моделирования: нахождение по траекториям среднего, моды либо медианы в зависимости от заданного критерия оптимальности согласно (3)-(5) с учетом весовой функции. С развитием вычислительной техники методы Монте-Карло для фильтрации СП можно применять в реальном масштабе времени для достаточно сложных стохастических ДСФС [13].

Далее опишем основные этапы в рассматриваемых подходах к решению задачи нелинейной фильтрации.

2.  ФИЛЬТРАЦИЯ НЕГАУССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ФИКСИРОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ

3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО (ФИЛЬТР ЧАСТИЦ)

При использовании в качестве критерия оптимальности максимума апостериорной ПРВ оптимальная оценка представляет собой вектор, на котором достигается максимум оценки апостериорной ПРВ, полученной на основе численного моделирования пар «траектория + вес». Для уменьшения вычислительных затрат можно находить эту оценку приближенно для p-й фазовой координаты СП Y(t) на основе формулы (6) и взвешенных оценок центральных моментов третьего и четвертого порядков.

Финансирование

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 17-08-00530.

1. Дашевский М.Л. Семиинвариантный метод замыкания уравнений для моментов в зада- чах анализа нелинейных систем // Проблемы управления и теория информации. 1975. № 4. С. 317–328.
2. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Едитори- ал УРСС, 2004. 400 с.
3. Кашкарова А.Г., Шин В.И. Модифицированные семиинвариантные методы анализа стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 2. С. 69–79.
4. Косачев И.М. Методология высокоточной нелинейной фильтрации случайных процес- сов в стохастических динамических системах с фиксированной структурой // Вестник Воен. акад. Респ. Беларусь. 2014. № 4 (45). С. 125–161.
5. Косачев И.М., Ерошенков М.Г. Аналитическое моделирование стохастических систем. Минск: Наука и техника, 1993. 264 с.
6. Марковская теория оценивания в радиотехнике / Под ред. Ярлыкова М.С. М.: Радио-техника, 2004. 504 с.
7. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 5 т. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
8. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2004. 1000 с.
9. Руденко Е.А. Оптимальная структура нелинейных фильтров конечного порядка. М.: Изд-во МАИ, 1989. 64 с.
10. Руденко Е.А. Непрерывная конечномерная локально-оптимальная фильтрация диффу-зионно-скачкообразных сигналов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2018. № 4. С. 14–43.
11. Рыбаков К.А. Спектральный метод фильтрации и прогнозирования в стохастических системах диффузионно-скачкообразного типа // Научный вестник МГТУ ГА. 2016. № 224 (2). С. 14–23.
12. Рыбаков К.А. Статистические методы анализа и фильтрации в непрерывных стохасти-ческих системах. М.: Изд-во МАИ, 2017. 176 с.
13. Рыбаков К.А., Ющенко А.А. Непрерывные фильтры частиц и их реализация в реальном масштабе времени // Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные тех-нологии. 2018. № 3. С. 56–64.
14. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М.: Унив. кн., Логос, 2006. 640 с.
15. Современная и прикладная теория управления: Оптимизационный подход к теории управления: в 3 т. / Под ред. Колесникова А.А. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
16. Степанов О.А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки нави-гационной информации: в 2 т. СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 2017.
17. Bain A., Crisan D. Fundamentals of Stochastic Filtering. Springer, 2009. 394 p.
18. Bar-Shalom Y., Li X.R., Kirubarajan T. Estimation with Applications to Tracking and Navi-gation. John Wiley & Sons, 2001. 581 p.