Построение гарантирующего по быстродействию управления для дискретных систем с суммарными ограничениями на управление

А.А. Мохначева

doi:10.17759/mda.2025150204

Введение

Первое упоминание задачи быстродействия относится к этапу формирования математической теории оптимального управления как научной дисциплины. Во многом это связано с естественным функционалом качества – временем, необходимым для перевода системы из заданного начального состояния в начало координат. Для случая систем с непрерывным временем решение может быть получено при помощи стандартных подходов, таких как принцип максимума (Понтрягин и др., 1969) или метод динамического программирования (Беллман, 1960). Однако для систем с дискретным временем общего подхода к решению задачи быстродействия выработано не было. Это связано с нерегулярностью экстремума почти для всех начальных состояний и дискретным функционалом качества, что отмечено как в классических монографиях (Болтянский, 1973), (Пропой, 1973), так и в современных работах (Ибрагимов, 2019).

Известные результаты, посвященные задаче быстродействия для систем с дискретным временем, представлены крайне небольшим набором статей и в основном исследуют различные частные постановки. В работе Мороза А.И. (Мороз, 1965) обсуждаются только трехмерные системы со скалярным управлением, Desoer C.A., Wing J., Lin W.-S. (Desoer, Wing, 1961), (Lin, 1986) рассматривают уже системы произвольной размерности, но все еще со скалярным управлением. Bashein G., Vlieger J.H., Verbruggen H.B., Bruijn P.M. (Bashein, 1971), (Vlieger, Verbruggen, Bruijn, 1982) сосредоточены на численных методах построения оптимального управления на основе линейного программирования. В статьях Lasserre J.B., Stamnes O.N., Callafon R.A. (Lasserre, 1993), (Stamnes, Callafon, 2007) управление предполагается векторным, но исключительно с ограничениями в форме зонотопов. В свою очередь Kolev L.V. (Kolev, 1978) и Scott M. (Scott, 1986) предлагают регуляризацию задачи быстродействия при помощи введения дополнительного критерия качества. Работы Blanchini F. и Ukovich W. (Blanchini, Ukovich, 1993) допускают уже геометрические полиэдральные ограничения на управление. В (Keerthi, Gilbert, 1987) Keerthi S., Gilbert E. предполагают смешанные полиэдральные ограничения, накладываемые одновременно на управление и состояние. Данные методы, базирующиеся на средствах линейного программирования, развиваются в современных статьях (Abdelhak, Rachik, 2010), (Amato и др., 2022), (Chen, Bako, Lecoeuche, 2012), (Lee, Haddad, 2022), (Yang, Xia, Geng, 2019), (Leomanni, Costante, Ferrante, 2022), (Бортаковский, 2023).

Обобщением выше приведенных результатов может считаться геометрический подход к решению задачи быстродействия, использующий аппарат множеств 0-управляемости и достижимости (Ибрагимов, 2019), (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021). Описание в терминах данных множеств функции Беллмана позволяет сформулировать конструктивные достаточные условия оптимальности управления. В частности, в случае линейных ограничений на управление, множества 0-управляемости являются многогранниками, а метод динамического программирования сводится к ряду задач линейного программирования (Мороз 1965), (Lin, 1986), (Bashein, 1971), (Vlieger, Verbruggen, Bruijn, 1982), (Lasserre, 1993), (Stamnes, Callafon, 2007). Для систем, обладающих произвольными выпуклыми ограничениями, на основе алгоритмов полиэдральной аппроксимации (Каменев, 2010) возможно получить гарантирующее решение аналогичным образом. В (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021) исследована сходимость гарантирующего решения к оптимальному.

Тем не менее, все приведенные выше результаты относятся к системам с геометрическими ограничениями на управление, которыми на практике моделируются предельно допустимые по амплитуде значения управляющих воздействий. В данной статье предлагается обобщение развитого в (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021) подхода на случай систем с дискретным временем и суммарными ограничениями на управление. Посредством такого типа ограничений могут быть описаны суммарные запасы ресурса, расходуемого на управление. Например, общий объем топлива в задаче наискорейшей коррекции орбиты космического аппарата. В частности, в статье исследовано при каких условиях для такого класса систем множества 0-управляемости будут являться многогранниками, получено их описание в общем виде. Основной целью является определение условий сходимости гарантирующего решения, построенного при помощи аппроксимационных алгоритмов, к оптимальному.

2 Постановка задачи

Рассматривается линейная стационарная система с дискретным временем и суммарными ограничениями на векторное управление

(A, U, t)

:

\begin{matrix} x (k + 1) = Ax (k) + u (k), k \in N \cup \{0 \}, \\ (1) \end{matrix}

x (0) = x_{0}, \sum_{k = 0}^{\infty} μ (u (k), U) \leq t,

где

x (k) \in R^{n}

– вектор состояния системы,

u (k) \in R^{n}

– вектор управления,

A \in R^{n \times n}

– матрица системы,

t > 0

– запас ресурса управления,

U \subset R^{n}

– выпуклое и компактное множество, определяющее ограничение на управление. Предполагается, что

\det A \neq 0

и

0 \in ri U .

Через

μ (x, X)

для

x \in R^{n}

и выпуклого

X \subset R^{n}

, содержащего

0

, обозначен функционал Минковского (Колмогоров, Фомин, 2012, разд. 3, §2, Гл. III):

\begin{matrix} μ (x, X) = \inf \{α > 0 : x \in α X \} . \\ (2) \end{matrix}

Под

ri U

понимается относительная внутренность множества

U

– множество внутренних точек

U

, если рассматривать данное множество как подмножество его аффинной оболочки (Рокафеллар, 1973, §6, Гл. II).

Для системы

(1)

решается задача быстродействия, т.е. требуется перевести систему из заданного начального состояния

x_{0}

в начало координат за минимальное число шагов

N_{\min}

. Процедура решения задачи быстродействия для дискретных систем состоит из двух этапов, первым из которых является вычисление

N_{\min}

:

\begin{matrix} N_{\min} = \min \end{matrix}

Второй этап заключается в построении процесса управления

{x^{} (k), u^{} (k - 1), x_{0}}_{k = 1}^{N_{m \in}}

, удовлетворяющего условию

x^{} (N_{\min}) = 0

. Такой процесс будем называть оптимальным.

Использование функционала Минковского множества

U

для описания ограничений на управления является целесообразным, поскольку для решения поставленной задачи используется геометрический подход, предполагающий в большей степени работу с множествами. Также далее будет продемонстрировано, что в терминах множества

U

может быть получено более простое и конструктивное описание множеств 0-управляемости. С другой стороны, выбранный подход не снижает общности постановки задачи. Продемонстрируем данный факт на следующем примере.

Пример 1. Рассмотрим систему управления с суммарными ограничениями на управление

x (k + 1) = Ax (k) + u (k), k \in N \cup {0},

x (0) = x_{0}, \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{i = 1}^{n} | u_{i} (k) | \leq t .

Данная система будет эквивалентна системе

(1)

, если выбрать

U

следующим образом:

U = {u \in R^{n} : \sum_{i = 1}^{n} | u_{i} | \leq 1} .

3 Множества 0-управляемости и критерий оптимальности в случае линейных ограничений

Обозначим через

{{X}_{t} (N)}_{N = 0}^{\infty}

класс множеств 0-управляемости системы

(1)

, где

X_{t} (N)

представляет собой множество тех начальных состояний, из которых можно перевести систему

(1)

в начало координат за

N \in N

шагов посредством выбора допустимого управления при суммарном ресурсе управления

t

:

\begin{matrix} X_{t} (N) = \end{matrix}

Также будем считать, что

X_{t} (0) = {0}

.

С учетом

(4)

величину

N_{\min}

можно определить следующим образом:

\begin{matrix} N_{\min} = \min {N \in N \cup {0} : x_{0} \in X_{t} (N)} . \\ (5) \end{matrix}

В силу

(5)

решение первого этапа задачи быстродействия сводится к последовательному построению множеств 0-управляемости и проверки принадлежности им начального состояния системы.

Также условие разрешимости задачи быстродействия

N_{\min} < \infty

можно свести к включению

x_{0} \in X_{t, \infty} = N = 0 \infty X_{t} (N) .

Более подробно вопросы построения и оценивания предельных множеств 0-управляемости

X_{t, \infty}

рассматриваются в (Ибрагимов и др., 2022).

Справедлив критерий оптимальности по быстродействию процесса управления.

Лемма 1 (Ибрагимов, 2024). Пусть класс множеств

{X_{t} (N)}_{N = 0}^{\infty}

, определяется согласно

(4)

. Тогда процесс управления

{x^{} (k), u^{} (k - 1), x_{0}}_{k = 1}^{N_{m \in}}

оптимален по быстродействию для системы

(1)

тогда и только тогда, когда для некоторого

t_{0} \leq t

выполняются соотношения

A x^{} (k) + u^{} (k) \in X_{t_{k + 1}} (N_{\min} - k - 1),

t_{k + 1} = t_{k} - μ (u^{} (k), U) \geq 0, k = \bar{0, N_{\min} - 1} .

Справедливо следующее представление для множеств 0-управляемости.

Теорема 1. Пусть класс множеств

{X_{t} (N)}_{N = 0}^{\infty}

определяется согласно

(4)

,

d et A \neq 0

. Тогда для любых

N \in N

верно представление

X_{t} (N) = - t conv k = 1 N A^{- k} U .

Доказательство. Пусть

x_{0} \in X_{t} (N)

. По определению

(4)

данное включение равносильно условиям

Рассмотрим первое равенство из системы. В силу того, что

d et A \neq 0,

допустимо эквивалентное преобразование

x_{0} = - A^{- N} \sum_{k = 0}^{N - 1} A^{k} u (N - k - 1) = - \sum_{k = 0}^{N - 1} A^{- (N - k)} u (N - k - 1) = - \sum_{k = 1}^{N - 1} A^{- k} u (k - 1) .

Таким образом, включение

x_{0} \in X_{t} (N)

равносильно условиям

Введем обозначения:

\begin{matrix} u^{k} = f (x) = {\begin{matrix} \frac{u (k - 1)}{μ (u (k - 1), U)}, \land u (k - 1) \neq 0, \\ 0, \land u (k - 1) = 0, \end{matrix} λ_{k} = \frac{μ (u (k - 1), U)}{t} \geq 0. \\ (7) \end{matrix}

По определению функционала Минковского

u^{k} \in U

,

λ_{k} \geq 0

. Верно равенство

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{N} λ_{k} = \frac{1}{t} \sum_{k = 1}^{N} μ (u (k - 1), U) . \\ (8) \end{matrix}

Таким образом, при обозначениях

(7)

в силу равенства

(8)

эквивалентны включения

x_{0} \in X_{t} (N), x_{0} \in - t conv k = 1 N A^{- k} U .

Следовательно,

X_{t} (N) = - t conv k = 1 N A^{- k} U .

Теорема 1 доказана.

∎

В случае, когда множество

U

является многогранником, т.е. существуют

u^{1}, \dots, u^{M} \in R^{n}

такие, что

\begin{matrix} U = conv {u^{1}, \dots, u^{M}}, \\ (9) \end{matrix}

можно получить более конструктивное описание множеств 0-управляемости.

Следствие 1. Пусть класс множеств

{X_{t} (N)}_{N = 0}^{\infty}

определяется согласно

(4)

,

d et A \neq 0

и верно

(9) .

Тогда для любых

N \in N

1. верно представление

X_{t} (N) = conv {- t A^{- k} u^{j} : j = \bar{1, M,} k = \bar{1, N}};

2. справедлива оценка для множества вершин

{E xt X}_{t} (N) \subset {- t A^{- k} u^{j} : j = \bar{1, M,} k = \bar{1, N}};

3. справедлива оценка для числа вершин

{c ard E xt X}_{t} (N) = L (N) \leq MN .

Доказательство. В силу теоремы

(1)

и

A^{- k} U = conv {A^{- k} u^{1}, ..., A^{- k} u^{M}},

получим представление

X_{t} (N) = - t k = 1 N conv {A^{- k} u^{1}, \dots, A^{- k} u^{M}} = conv {- t A^{- k} u^{j} : j = \bar{1, M,} k = \bar{1, N}} .

В силу (Циглер, 2014, утв. 2.2, §2.1, Гл.2) верно включение и оценка числа вершин

{E xt X}_{t} (N) \subset conv {- t A^{- k} u^{j} : j = \bar{1, M,} k = \bar{1, N}}, {c ard E xt X}_{t} (N) \leq MN .

Следствие 1 доказано.

∎

На основе критерия оптимальности из леммы

1

и результатов следствия

1

удается построить конструктивный метод решения задачи быстродействия для системы

(1)

в случае

(9),

который сводится к решению ряда задач линейного программирования.

Теорема 2. (Ибрагимов, 2024, Теорема 1). Пусть в системе

(1)

выполнено включение

x_{0} \in X_{t} (N_{\min})_{t} (N_{\min} - 1)

,

d et A \neq 0

, справедливы представления

U = conv {u^{1}, \dots, u^{M}}, X_{1} (N) = conv {{x}^{1} (N), \dots, x^{L (N)} (N)}, N \in N,

наборы

{u^{} (k)}_{k = 0}^{N_{m \in - 1}}

,

{x^{} (k)}_{k = 0}^{N_{m \in}, {t_{k}}_{k = 0}^{N_{m \in}}}

определяются соотношениями

x^{} (k + 1) = A x^{} (k) + u^{} (k),

u^{} (k) = \sum_{j = 1}^{M} μ_{j}^{} u^{j},

t_{k + 1} = t_{k} - \sum_{j = 1}^{M} μ_{j}^{}, k = \bar{0, N_{\min} - 1},

x^{} (0) = x_{0}, t_{0} = μ (x_{0}, X_{1} (N_{\min})),

где на каждом шаге

k = \bar{0, N_{\min} - 1}

числа

μ_{1}^{}, \dots, μ_{M}^{}

определяются из решения задачи линейного программирования

\sum_{j = 1}^{M} μ_{j} \to \min_{λ, μ},

\begin{matrix} A x^{} (k) + \sum_{j = 1}^{M} μ_{j} u^{j} = \sum_{i = 1}^{L (N_{\min} - k - 1)} λ_{i} x^{i} (N_{\min} - k - 1), \\ (10) \end{matrix}

t_{k} - \sum_{j = 1}^{M} μ_{j} = \sum_{i = 1}^{L (N_{\min} - k - 1)} λ_{i},

λ_{1}, \dots, λ_{L (N_{\min} - k - 1)}, μ_{1}, \dots, μ_{M} \geq 0.

Тогда

{x^{} (k), u^{} (k - 1), x_{0}}_{k = 0}^{N_{\min} - 1}

– оптимальный по быстродействию процесс.

Теорема

2

позволяет построить оптимальное по быстродействию управление для систем вида

(1)

с ограничениями первого порядка

(9) .

Для произвольных выпуклых множеств

U

аналогичный подход может быть применим, если предварительно провести их полиэдральную аппроксимацию (Каменев, 2010), как это было предложено в (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021). Однако в этом случае возникает вопрос об оптимальности результирующего процесса. Целью данной работы является разработка подхода к решению поставленной задачи при помощи методов полиэдральной аппроксимаций, а также указание условий, при которых можно добиться оптимальности гарантирующего процесса.

4 Постановка задачи об аппроксимации

При использовании аппроксимационных методов для решения задачи быстродействия справедливы следующие оценки времени быстродействия.

Лемма 2. Пусть справедливо включение

\underset{̲}{U} \subset U \subset \bar{U},

где

\underset{̲}{U}, U, \bar{U} \subset R^{n}

– выпуклые и компактные множества, содержащие

0

в качестве относительно внутренней точки, задача быстродействия для

x_{0} \in R^{n}

разрешима для систем

(A, \underset{̲}{U}, t), (A, U, t), (A, \bar{U}, t),

а величины

\bar{N_{\min}}, N_{\min}, \underset{̲}{N_{\min}}

– время быстродействия для данных систем соответственно. Тогда

\bar{N_{\min}} \leq N_{\min} \leq \underset{̲}{N_{\min}} .

Доказательство. Рассмотрим множества

U \subset \bar{U},

систем

(A, U, t), (A, \bar{U}, t)

и соответствующие им величины

N_{\min}, \bar{N_{\min}} .

Для

N_{\min}

согласно определению

(3)

, найдутся такие

u (0), \dots, u (N_{\min} - 1) \in R^{n}

, что справедливы соотношения

0 = A^{N_{\min}} x_{0} + \sum_{k = 0}^{N_{\min} - 1} A^{k} u (N_{\min - k - 1}), \sum_{k = 0}^{N_{\min} - 1} μ (u (k), U) \leq t .

Используя определение

(2)

и компактность

U,

проведем следующие преобразования для произвольного

u \in R^{n}

:

μ (u, U) = \inf {α > 0 : u \in α U},

u \in μ (u, U) U \subset μ (u, U) \bar{U},

μ (u, U) \in {α > 0 : u \in α \bar{U}},

μ (u, U) \geq \inf {α > 0 : u \in α \bar{U}} = μ (u, \bar{U}) .

Тогда справедливо неравенство

\sum_{k = 0}^{N_{\min} - 1} μ (u (k), \bar{U}) \leq \sum_{k = 0}^{N_{\min} - 1} μ (u (k), U) \leq t .

Отсюда следует, что

N_{\min} \in {N \in N \cup {0} : 0 = A^{N} x_{0} + \sum_{k = 0}^{N - 1} u (N - k - 1), \sum_{k = 0}^{N - 1} μ (u (k), \bar{U}) \leq t} .

Тогда для системы

(A, \bar{U}, t)

по определению

(3)

выполнятся соотношение

N_{\min} \geq \min {N \in N \cup {0} : 0 = A^{N} x_{0} + \sum_{k = 0}^{N - 1} u (N - k - 1), \sum_{k = 0}^{N - 1} μ (u (k), \bar{U}) \leq t} = \bar{N_{\min} .}

Аналогично получается соотношение

N_{\min} \leq \underset{̲}{N_{\min}}

для случая

\underset{̲}{U} \subset U

. Лемма 2 доказана.

∎

Задача об аппроксимации может быть сформулирована следующим образом. Пусть последовательности компактов

{{\underset{̲}{U}}_{m}}_{m \in N}, {{\bar{U}}_{m}}_{m \in N} \subset R^{n}

удовлетворяют включению

{\underset{̲}{U}}_{m} \subset U \subset {\bar{U}}_{m}, m \in N .

Для всех

m \in N

величины

\underset{̲}{N_{\min}} (m), \bar{N_{\min}} (m)

являются оптимальными значениями критерия в задаче быстродействия для систем

(A, {\underset{̲}{U}}_{m}, t), (A, {\bar{U}}_{m}, t)

соответственно. Требуется определить, какими свойствами должны обладать последовательности

{{\underset{̲}{U}}_{m}}_{m \in N}, {{\bar{U}}_{m}}_{m \in N},

чтобы для всех или почти для всех

x_{0}

выполнялись соотношения

\bar{N_{\min}} (m) \underset{\to}{m \to \infty} N_{\min},

\underset{̲}{N_{\min}} (m) \underset{\to}{m \to \infty} N_{\min} .

5 Предельные свойства множеств 0-управляемости

Для рассмотрения вопросов сходимости исследуемые множества будем предполагать элементами метрического пространства компактов

(K_{n}, ρ_{H}),

наделенного метрикой Хаусдорфа:

K_{n} = {X \subset R^{n} : X - компакт},

ρ_{H} (X, Y) = \max {\underset{x \in X}{} \inf_{y \in Y} ‖ x - y ‖,^{} y \in Y \inf_{x \in X} ‖ x - y ‖} .

Тогда справедлива следующая лемма.

Лемма 3. Пусть последовательность

\{U_{m} {\}}_{m \in N}

сходится к множеству

U

системы

(1) :

ρ_{H} (U_{m}, U) \underset{\to}{m \to \infty} 0 .

Тогда для любых

N \in N \cup \{0 \}

множества 0-управляемости

\{X_{t}^{(m)} (N) {\}}_{N = 0}^{\infty}

и

\{X_{t} (N) {\}}_{N = 0}^{\infty}

для систем

(A, U_{m}, t)

и

(A, U, t)

соответственно удовлетворяют соотношению.

ρ_{H} (X_{t}^{(m)} (N), X_{t} (N)) \underset{\to}{m \to \infty} 0.

Доказательство. Выберем произвольные

N \in N \cup \{0 \}

и

ε > 0

.

По определению сходимости из

ρ_{H} (U_{m}, U) \underset{\to}{m \to \infty} 0

следует, что для любого

δ > 0

найдется

m \in N

такой, что

ρ_{H} (U_{m}, U) < δ

.

В силу непрерывности оператора

A^{- k}

в пространстве компактов для всех

k = \bar{1, N}

выберем

δ_{k} > 0

так, чтобы при

m \geq M

для некоторого

M \in N

из

ρ_{H} (U_{m}, U) < δ_{k},

следовало бы неравенство

\begin{matrix} ρ_{H} ({A^{- k} U}_{m}, A^{- k} U) < \frac{ε}{t} . \\ (11) \end{matrix}

Для доказательства

ρ_{H} (X_{t}^{(m)} (N), X_{t} (N)) \underset{\to}{m \to \infty} 0

необходимо показать, что существует номер

M \in N

такой, что для любого

m \geq M

выполняется неравенство

ρ_{H}

для любого

ε > 0

.

Пусть

X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} \in K_{n}

. Тогда верны соотношения

\underset{x \in conv {X_{1} \cup X_{2}}}{} \inf_{y \in conv {{Y}_{1} \cup Y_{2}}} ‖ x - y ‖ =^{} \begin{matrix} x_{1} \in X_{1}, \\ x_{2} \in X_{2}, \\ λ \in [0; 1] \end{matrix} \inf_{\begin{matrix} y_{1} \in Y_{1}, \\ y_{2} \in Y_{2}, \\ μ \in [0; 1] \end{matrix}} ‖ λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} - μ y_{1} - (1 - μ) y_{2} ‖ \leq

\leq^{} \begin{matrix} x_{1} \in X_{1}, \\ x_{2} \in X_{2}, \\ λ \in [0; 1] \end{matrix} \inf_{\begin{matrix} y_{1} \in Y_{1}, \\ y_{2} \in Y_{2} \end{matrix}} ‖ λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} - λ y_{1} - (1 - λ) y_{2} ‖ \leq

\leq^{} \begin{matrix} x_{1} \in X_{1}, \\ x_{2} \in X_{2}, \\ λ \in [0; 1] \end{matrix} \inf_{\begin{matrix} y_{1} \in Y_{1}, \\ y_{2} \in Y_{2} \end{matrix}} (λ ‖ x_{1} - y_{1} ‖ + (1 - λ) ‖ x_{2} - y_{2} ‖) =

^{} λ \in [0; 1] (λ^{} x_{1} \in X_{1} \inf_{y_{1} \in Y_{1}} ‖ x_{1} - y_{1} ‖ + {(1 - λ)}^{} x_{2} \in X_{2} \inf_{y_{2} \in Y_{2}} ‖ x_{2} - y_{2} ‖) =

\max {\underset{x_{1} \in X_{1}}{} \inf_{y_{1} \in Y_{1}} ‖ x_{1} - y_{1} ‖,^{} x_{2} \in X_{2} \inf_{y_{2} \in Y_{2}} ‖ x_{2} - y_{2} ‖} .

Отсюда в силу определения расстояния Хаусдорфа следует неравенство

ρ_{H}

С учетом метода математической индукции можно перейти к более общему соотношению для любых

X_{1}, ..., X_{N}, Y_{1}, ..., Y_{N} \in K_{n}

:

ρ_{H} (conv k = 1 N X_{k}, conv k = 1 N Y_{k}) \leq ma \underset{k = \bar{1, N}}{x} {ρ_{H} (X_{k}, Y_{k})} .

Тогда из

(11)

и теоремы

1

следует, что

ρ_{H}

t ρ_{H} (conv k = 1 N {A^{- k} U}_{m}, conv k = 1 N A^{- k} U) \leq t ma \underset{k = \bar{1, N}}{x} {ρ_{H} ({A^{- k} U}_{m}, A^{- k} U)} < t \frac{ε}{t} = ε .

Лемма

3

доказана.

∎

На основе данной леммы и свойств метрики Хаусдорфа можно предложить следующее решение задачи об аппроксимации.

Теорема 3. Пусть последовательность выпуклых компактов

{\underset{̲}{U}_{m}}_{m \in N} \subset K_{n}

, удовлетворяет условиям

{\underset{̲}{U}}_{m} \subset U, m \in N,

ρ_{H} ({\underset{̲}{U}}_{m}, U) \underset{\to}{m \to \infty} 0.

Тогда почти для всех

x_{0} \in R^{n}

, для которых

N_{\min} < \infty

существует

m_{1} \in N

такое, что

N_{\min} = \underset{̲}{N_{\min}} (m_{1}),

\underset{̲}{N_{\min}} (m)

– оптимальное значение критерия в задаче быстродействия для системы

(A, {\underset{̲}{U}}_{m}, t)

.

Доказательство. Обозначим через

X_{t}^{(m)} (N)

множество 0-управляемости системы

(A, {\underset{̲}{U}}_{m}, t)

. По теореме

1

для всех

m \in N

справедливо включение

X_{t}^{(m)} (N_{\min}) \subset X_{t} (N_{\min})

. Из леммы

3

следует, что

ρ_{H} (X_{t} (N_{\min}), X_{t}^{(m)} (N_{\min})) \underset{\to}{m \to \infty} 0

.

Для любого

x_{0} \in \int X_{t} (N_{\min})

найдется

ε > 0

такое, что выполняется

B_{ε} (x_{0}) \in X_{t} (N_{\min})

и существует

m_{1} \in N

такое, что

ρ_{H} (X_{t} (N_{\min}), X_{t}^{(m)} (N_{\min})) \leq ε

. Тогда в силу (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021, лемма 5)

x_{0} \in X_{t}^{(m)} (N_{\min})

. Это с учетом

(5)

приводит к соотношениям

N_{\min} \in {N \in N \cup \{0 \} : x_{0} \in X_{t}^{(m)} (N)},

N_{\min} \geq \min {N \in N \cup \{0 \} : x_{0} \in X_{t}^{(m)} (N)} = \underset{̲}{N_{\min}} (m_{1}) .

С другой стороны, согласно лемме

2

N_{\min} \leq \underset{̲}{N_{\min}} (m_{1})

. Тогда

N_{\min} = \underset{̲}{N_{\min}} (m_{1}) .

Теорема

3

доказана.

∎

Теорема 4. Пусть последовательность выпуклых компактов

{{\bar{U}}_{m}}_{m \in N} \subset K_{n}

, удовлетворяет условиям

U \subset {\bar{U}}_{m}, m \in N,

ρ_{H} ({\bar{U}}_{m}, U) \underset{\to}{m \to \infty} 0.

Тогда для всех

x_{0} \in R^{n}

, для которых

N_{\min} < \infty

существует

m_{2} \in N

такое, что

N_{\min} = \bar{N_{\min}} (m_{2}),

\bar{N_{\min}} (m)

– оптимальное значение критерия в задаче быстродействия для системы

(A, {\bar{U}}_{m}, t)

.

Доказательство. Обозначим через

X_{t}^{(m)} (N)

множество 0-управляемости системы

(A, {\bar{U}}_{m}, t) .

Принадлежность

x_{0} \in X_{t} (N_{\min}) {X_{t} (N_{\min} - 1)

означает, что существует

ε > 0

такое, что

B_{ε} (x_{0}) \cap X_{t} (N_{\min} - 1) = \emptyset

.

По теореме

1

для всех

m \in N

справедливо включение

X_{t} (N_{\min} - 1) \subset X_{t}^{(m)} (N_{\min} - 1) .

Из леммы

3

следует, что

ρ_{H} (X_{t}^{(m)} (N_{\min} - 1), X_{t} (N_{\min} - 1)) \underset{\to}{m \to \infty} 0,

то есть найдется

m_{2} \in N

такой, что

ρ_{H} (X_{t}^{(m)} (N_{\min} - 1), X_{t} (N_{\min} - 1)) < ε

.

Тогда в силу (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021, лемма 6)

x_{0} \notin X_{t}^{(m_{2})} (N_{\min} - 1) .

Это с учетом

(5)

приводит к соотношениям

N_{\min} - 1 < \min {N \in N \cup \{0 \} : x \in {\bar{X}}_{t}^{(m_{2})} (N)} = \bar{N_{\min}} (m_{2}) .

С другой стороны, согласно лемме

2

N_{\min} \geq \bar{N_{\min}} (m_{2})

. Тогда

N_{\min} = \bar{N_{\min}} (m_{2})

. Теорема

4

доказана.

∎

Следствие 2. Пусть выполняются условия теорем

3

и

4

одновременно. Тогда существует

m_{0} \in N

такое, что

\bar{N_{\min}} (m_{0}) = N_{\min} = \underset{̲}{N_{\min}} (m_{0}) .

Доказательство. Следствие вытекает из теорем

3

и

4

, если выбрать

m_{0} = \max {{m_{1}, m}_{2}}

.

Из теорем

3

и

4

следует, что если метод полиэдральной аппроксимации гарантирует сходимость в смысле расстояния Хаусдорфа к аппроксимируемому множеству, то почти для всех начальных состояний гарантирующее решение окажется также и оптимальным по быстродействию за конечное число итераций аппроксимационного алгоритма. Таким образом, можно считать задачу об аппроксимации решенной. Оптимальный по быстродействию процесс в системе

(A, {\underset{̲}{U}}_{m}, t)

, с одной стороны, может быть построен при помощи теоремы

2

за счет средств исключительно линейного программирования, с другой стороны, он также является оптимальным процессом в исходной системе

(A, U, t)

.

Рис. 1 — Рис.1. Аппроксимации ${\bar{U}}_{m}, {\underset{̲}{U}}_{m}$ для $m = 3 (a)$ , $m = 7 (b)$ , $m = 11 (c)$ , $m = 13 (d) .$
Fig. 1. Approximation ${\bar{U}}_{m}, {\underset{̲}{U}}_{m}$ for $m = 3 (a)$ , $m = 7 (b)$ , $m = 11 (c)$ , $m = 13 (d) .$

6 Пример

Приведем пример использования теорем

3

и

4

. Пусть

A = (\begin{matrix} 0.9 & 0 \\ 0 & 0.9 \end{matrix}), U = {u \in R^{2} : u^{T} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) u \leq 1}, t = 1, x_{0} = (\begin{matrix} - 0.5 \\ 1.2 \end{matrix}) .

Последовательности

{{\bar{U}}_{m}}_{m = 3}^{\infty}_{}, {\underset{̲}{U}_{m}}_{m = 3}^{\infty}_{}

будут строиться с помощью метода сближающих многогранников (Каменев, 2010, §4.3, Гл.4), где

m

– число вершин в аппроксимирующем многограннике. Результаты аппроксимаций на разных шагах алгоритма представлены на рис. 1.

Поиск времени быстродействия

N_{\min}

осуществляется путем построения множеств 0-управляемости до тех пор, пока одно из них не начнет включать в себя начальное состояние

x_{0}

. В качестве множества

U

используются найденные аппроксимации

{\bar{U}}_{m}, {\underset{̲}{U}}_{m}

. Полученные значения

\bar{N_{\min}} (m), \underset{̲}{N_{\min}} (m)

представлены в таблице

1

. После

11

-го шага алгоритма значения

\bar{N_{\min}} (13), \underset{̲}{N_{\min}} (13)

совпали в соответствии со следствием

2

. Для построения оптимального процесса можно использовать

{\underset{̲}{U}}_{13}

. Результат сходимости алгоритма в смысле теорем

3

и

4

представлен на рис.

2

, где показана принадлежность начального состояния

x_{0}

множеству 0-управляемости за

N_{\min} = 4

шага.

Таблица 1/ Table 1

Вычисление

\bar{N_{\min}} (m) и \underset{̲}{N_{\min}} (m)

.
Calculation

\bar{N_{\min}} (m) a nd \underset{̲}{N_{\min}} (m)

.

$m$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
$\bar{N_{\min}}$	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
$\underset{̲}{N_{\min}}$	6	6	6	6	6	5	5	5	5	5	4

Покажем сходимость метода для той же системы, но для других начальных состояний. Результат приведен в таблице

2

. Для каждого состояния было найдено время быстродействия и соответствующее ему число вершин в аппроксимирующих многогранниках.

Таблица 2/ Table 2

Сходимость метода для различных начальных состояний.
Convergence of the method for different initial states.

$x_{0}$	${(\begin{matrix} - 0.3 & 2 \end{matrix})}^{T}$	${(\begin{matrix} 2 & 0. 1 \end{matrix})}^{T}$	${(\begin{matrix} - 2 & - 2 \end{matrix})}^{T}$	${(\begin{matrix} 2 & 2 \end{matrix})}^{T}$	${(\begin{matrix} 1 & - 1.5 \end{matrix})}^{T}$
$\bar{N_{\min}} = \underset{̲}{N_{\min}}$	9	10	15	15	5
$m_{0}$	8	14	4	32	21

7 Заключение

В работе разработан метод, который позволяет на основе алгоритмов полиэдральной аппроксимации формировать оптимальное по быстродействию управление для линейных стационарных систем с дискретным временем и суммарными ограничениями на управление первого порядка за счет средств линейного программирования. Доказана сходимость гарантирующего решения к оптимальному за конечное число шагов. Описанный метод является обобщением подхода из (Ибрагимов, Новожилкин, Порцева, 2021).

Важно отметить, что в рамках данной статьи допускается использование довольно широкого класса алгоритмов полиэдральной аппроксимации. Для построения оптимального решения на основе гарантирующего достаточно выбрать алгоритм, сходящийся в метрике Хаусдорфа, что является сравнительно мягким ограничением.

В качестве направления дальнейших исследований можно предложить обобщение разработанного подхода на случай нестационарных систем или систем со смешанными геометрическими и суммарными ограничениями.

Построение гарантирующего по быстродействию управления для дискретных систем с суммарными ограничениями на управление

Резюме

Общая информация

Полный текст

2 Постановка задачи

3 Множества 0-управляемости и критерий оптимальности в случае линейных ограничений

4 Постановка задачи об аппроксимации

5 Предельные свойства множеств 0-управляемости

7 Заключение

Литература

Информация об авторах

Метрики

Просмотров web

Скачиваний PDF

Всего