Применение метода Монте-Карло в задачах квантильной оптимизации

Математические модели стохастического программирования используются в широком спектре постановок задач, учитывающих влияние случайных факторов различной природы. Квантильный критерий использует понятие функции квантили – наименьшего значения функции потерь, которое не будет превышено с вероятностью не ниже заданной. Таким образом, надежность ограничивается на допустимом уровне и оптимизируется эффективность от реализации стратегии. Исходную задачу можно свести к минимаксной, где максимум берется по доверительному множеству, которое предлагается оптимизировать. С помощью доверительного метода исходная задача аппроксимируется детерминированной минимаксной задачей, параметризованной радиусом шара, вписанного в доверительное многогранное множество. Алгоритм решения двухэтапной задачи с квантильным критерием и выбором уровня надежности обобщен на случай произвольного унимодального распределения случайных параметров. К особенностям алгоритма относится выбор доверительного множества, ограниченного поверхностью уровня плотности вероятности случайной величины. Для построения такого множества используется метод Монте-Карло для генерации и разметки случайной выборки в сочетании с методом опорных векторов.

1. Ардабьевский П.А., Гончар Д.А., Кан Ю.С. (2020) Статистическое моделирование ядра вероятностного распределения и его применение к решению задачи квантильной оптимизации с билинейной функцией потерь. Моделирование и анализ данных. (с. 69–84). Том 10. № 3. DOI: https://doi.org/10.17759/mda.2020100306]. 
   Ardabevsky P.A., Gonchar D.A., Kan Yu.S. (2020) Statistical modeling of the probability distribution kernel and its application to solving the quantile optimization problem with a bilinear loss function. Modeling and Data Analysis. (pp. 69–84). Vol. 10. No. 3. DOI: https://doi.org/10.17759/mda.2020100306]. (In Russ.)
2. Васильева С.Н. (2018) Алгоритмы анализа и оптимизации квантильного критерия в задачах стохастического программирования с билинейными и квазилинейными функциями потерь. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)".
   Vasilyeva, S.N. (2018) Algorithms for Analysis and Optimization of the Quantile Criterion in Stochastic Programming Problems with Bilinear and Quasilinear Loss Functions. Dissertation for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Moscow Aviation Institute (National Research University). (In Russ.) 
3. Васильева С.Н., Кан Ю.С. (2015) Метод решения задачи квантильной оптимизации с билинейной функцией потерь. Автоматика и Телемеханика. (с. 83–101). № 9.
   Vasilyeva S.N., Kan Yu.S. (2015) Method for solving the quantile optimization problem with a bilinear loss function. Automation and Remote Control. (pp. 83–101). No. 9. (In Russ.) 
4. Вьюгин В.(2013) Математические основы теории машинного обучения и прогнозирования. МЦМНО, 2013. 390 с. ISBN 978-5-4439-0111-4.
   Vyugin V. (2013) Mathematical foundations of the theory of machine learning and forecasting. MCMS, 2013. 390 p. ISBN 978-5-4439-0111-4. (In Russ.) 
5. Иванов С.В., Кибзун А.И., Акмаева В.Н. (2023) Параметрический алгоритм поиска гарантирующего решения задачи квантильной оптимизации. Автоматика и телемеханика. (с. 73-8). № 8.
   Ivanov S.V., Kibzun A.I., Akmaeva V.N. (2023) Parametric algorithm for searching for a guaranteed solution to a quantile optimization problem. Automation and Remote Control. (pp. 73-8). No. 8. (In Russ.) 
6. Кибзун А.И., Кан Ю.С. (2009) Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. М.: Физматлит.
   Kibzun A.I., Kan Yu.S. (2009) Stochastic programming problems with probabilistic criteria. Moscow: Fizmatlit. (In Russ.) 
7. Кибзун А.И., Лебедев А.А., Малышев В.В. (1984) О сведении задачи с вероятностными ограничениями к эквивалентной минимаксной. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, (с. 73–80). № 4.
   Kibzun A.I., Lebedev A.A., Malyshev V.V. (1984) On the reduction of a problem with probabilistic constraints to an equivalent minimax problem. Izvestiya AN SSSR, Technical Cybernetics. (pp. 73–80). No. 4. (In Russ.) 
8. Кибзун А.И., Малышев В.В. (1984) Обобщенный минимаксный подход к решению задач с вероятностными ограничениями. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, (с. 20–29). № 1.
   Kibzun A.I., Malyshev V.V. (1984) Generalized minimax approach to solving problems with probabilistic constraints. Izvestiya AN SSSR, Technical Cybernetics. (pp. 20–29). No. 1. (In Russ.) 
9. Кибзун А.И., Наумов А.В. (1995) Гарантирующий алгоритм решения задачи квантильной оптимизации. Космические исследования. (с. 160–165) Т. 33. № 2.
   Kibzun A.I., Naumov A.V. (1995) A Guaranteeing Algorithm for Solving a Quantile Optimization Problem. Space Research. (pp. 160–165) Vol. 33. No. 2. (In Russ.)
10. Мэрфи К.П. (2022) Вероятностное машинное обучение: введение. М.: ДМК Пресс.
    Murphy K.P. (2022) Probabilistic Machine Learning: An Introduction. Moscow: DMK Press Publ. 
11. Наумов А.В., Иванов С.В. (2011) Исследование задачи стохастического линейного программирования с квантильным критерием. Автоматика и Телемеханика. (c. 142–158) № 2.
    Naumov A.V., Ivanov S.V. (2011) On stochastic linear programming problems with the quantile criterion. Autom. Remote Control. (pp. 353–369). V. 72. No. 2. (In Russ.) 
12. Cristianini N., Shawe-Taylor J. (2000)An Introduction to Support Vector Machines and Other Kernel-based Learning Methods. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-64363-4. 
13. Kan Yu.S (2002) Application of the Quantile Optimization to Bond Portfolio Selection. Stochastic Optimization Techniques. Numerical Methods and Technical Applications. Lecture Notes in Economics and Mathemaical Systems. (pp. 285–308) Vol. 513. K.Marti ed. Berlin: Springer.
14. Kibzun A.I., Kan Y.S. (1996) Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons. 
15. Statnikov A., Aliferis C. F., Hardin D. P.A (2011) Gentle Introduction to Support Vector Machines in Biomedicine: Theory and methods. World Scientific. ISBN 978-981-4324-38-0.