Численное моделирование аннигиляции доменной структуры в нелинейной гиперболической модели фазового поля

Контекст и актуальность. Моделирование динамики параметра порядка в нелинейных средах с учётом инерционных эффектов представляет интерес для физики конденсированного состояния и теории фазовых переходов. Гиперболические обобщения уравнения Ландау–Халатникова позволяют учитывать волновые механизмы переноса энергии, что принципиально отличает их от классических релаксационных моделей. Для их численного исследования требуется устойчивый и согласованный алгоритм второго порядка точности, способный корректно воспроизводить как нелинейную релаксацию, так и инерционно обусловленные волновые процессы. Цель. Исследовать динамику параметра порядка в нелинейной среде, описываемой инерционным уравнением типа Ландау – Халатникова – Тани, в приложении к процессу спонтанной аннигиляции узкой локализованной доменной структуры в двумерной постановке задачи. Гипотеза. Предполагается, что учёт инерционного члена приводит к качественному изменению эволюции доменной границы, а именно к перераспределению градиентной энергии в динамические колебания поля порядка, а применение неявной разностной схемы с итерационным уточнением нелинейности обеспечит корректное воспроизведение всех стадий аннигиляции. Методы и материалы. Для численного решения задачи использована неявная конечно-разностная схема Кранка–Николсон второго порядка точности по времени. Нелинейный член аппроксимируется методом Ньютона с итерационным уточнением решения на каждом временном шаге. Корректность реализации алгоритма подтверждена сравнением численных и аналитических решений на тестовой задаче с известным точным решением. Результаты. Численные эксперименты демонстрируют последовательные стадии эволюции доменной структуры: сближение границ, их исчезновение и формирование распространяющихся волновых возмущений. Показано, что наличие инерционного члена приводит к перераспределению части градиентной энергии в динамические колебания поля параметра порядка. Выводы. Полученные результаты подтверждают корректность реализованного численного подхода и демонстрируют существенное влияние инерционных эффектов на характер динамики локализованных структур. Гиперболическая постановка позволяет описывать волновые процессы, отсутствующие в параболических моделях, что важно при анализе энергетического баланса и эволюции доменных границ.

1. Landau, L.D., Lifshitz, E.M. (1980). Statistical Physics. Part 1. Oxford: Pergamon Press. 584 p. (In Eng.).
2. Lines, M.E., Glass, A.M. (1977). Principles and Applications of Ferroelectrics and Related Materials. Oxford: Clarendon Press. 610 p. (In Eng.).
3. Onuki, A. (2002). Phase Transition Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. 308 p. (In Eng.). https://doi.org/10.1017/CBO9780511534874
4. Chandra, P., Littlewood, P.B. (2007). Physics of Ferroelectrics. In: K.M. Rabe, C.H. Ahn, J.-F. Scott (Eds.), Physics of Ferroelectrics: A Modern Perspective (pp. 23—56). Berlin: Springer. (In Eng.). https://doi.org/10.1007/978-3-540-34591-6_3
5. Khalatnikov, I.M. (1965). An Introduction to the Theory of Superfluidity. New York: W.A. Benjamin. 266 p. (In Eng.).
6. Cahn, J.W., Hilliard, J.E. (1958). Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy. Journal of Chemical Physics, 28, 258—267. (In Eng.). https://doi.org/10.1063/1.1744102
7. Bray, A.J. (1994). Theory of phase-ordering kinetics. Advances in Physics, 43, 357—459. (In Eng.). https://doi.org/10.1080/00018739400101505
8. Chen, L.-Q. (2002). Phase-field models for microstructure evolution. Annual Review of Materials Research, 32, 113—140. (In Eng.). https://doi.org/10.1146/annurev.matsci.32.112001.132041
9. Frey, R., et al. (2023). Accelerated search for new ferroelectric materials using machine learning and high throughput DFT. Physical Review Research, 5, 023122. (In Eng.). https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.5.023122
10. Allen, S.M., Cahn, J.W. (1979). A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening. Acta Metallurgica, 27, 1085—1095. (In Eng.). https://doi.org/10.1016/0001-6160(79)90196-2
11. Chen, L.-Q. (2008). Phase-field method for microstructure evolution. JournaloftheAmericanCeramicSociety, 91(6), 1835—1844. (InEng.). https://doi.org/10.1111/j.1551-2916.2008.02413.x
12. Wang, B., Xia, R., Fan, H., Woo, C.H. (2003). Dynamic process of domain switching in ferroelectric films. Journal of Applied Physics, 94, 3384—3391. (In Eng.). https://doi.org/10.1063/1.1599958
13. Wang, Y.L., Chen, L.-Q., Nagarajan, V. (2013). Phase-field modeling of domain wall dynamics in ferroelectrics with inertial effects. Physical Review B, 88, 054404. (In Eng.). https://doi.org/10.1103/PhysRevB.88.054404
14. Tani, S. (1972). Relaxation of order parameter in ferroelectrics. Progress of Theoretical Physics, 47, 1740—1752. (In Eng.).
15. Cross, L.E. (1987). Ferroelectric relaxors. Ferroelectrics, 69, 1—10. (In Eng.). https://doi.org/10.1080/00150198708016945
16. Zhong, W., Vanderbilt, D., Rabe, K.M. (1994). Phase transitions in BaTiO₃ from first principles. Physical Review Letters, 73, 1861—1864. (In Eng.). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.73.1861
17. Bhattacharya, K. (2003). Microstructure of Martensite: Why it Forms and How it Gives Rise to the Shape-Memory Effect. Oxford: Oxford University Press. 268 p. (In Eng.).
18. Scott, J.F. (2000). Ferroelectric Memories. Heidelberg: Springer Science & Business Media. 248 p. (In Eng.). https://doi.org/10.1007/978-3-662-04307-3
19. Temam, R. (1997). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. New York: Springer. 428 p. (In Eng.). https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0645-3
20. Rabe, K.M., Ahn, C.H., Scott, J.-F. (Eds.). (2007). Physics of Ferroelectrics: A Modern Perspective. Berlin: Springer. (In Eng.).
21. Moroz, L., Maslovskaya, A. (2021). Fractional differential model of domain boundary kinetics in ferroelectrics: A computational approach. AIP Conference Proceedings, 2328(1), 020011. (In Eng.). https://doi.org/10.1063/5.0042140
22. Zhang, J., Yang, X. (2022). Efficient Fully Discrete Finite-Element Numerical Scheme with Second-Order Temporal Accuracy for the Phase-Field Crystal Model. Mathematics, 10(1), 155. (In Eng.). https://doi.org/10.3390/math10010155
23. Формалев, В.Ф., Ревизников, Д.Л. (2006). Численные методы. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 400 с. 
24. Alikin, Yu.M., Turygin, A.P., Kosobokov, M.S., Alikin, D.O., Shur, V.Ya. (2022). Decay of domains created by local switching on non-polar cut of MgO doped LiNbO₃ single crystals. Ferroelectrics, 592(1), 12—18. (In Eng.). https://doi.org/10.1080/00150193.2022.2052240
25. Su, Y., Landis, C.M. (2007). Continuum thermodynamics of ferroelectric domain evolution: Theory, finite element implementation, and application to domain wall pinning. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 55(2), 280—305. (In Eng.). https://doi.org/10.1016/j.jmps.2006.07.006
26. Richman, M.S., Rulis, P., Caruso, A.N. (2017). Ferroelectric system dynamics simulated by a second-order Landau model. Journal of Applied Physics, 122(9), 094101. (In Eng.). https://doi.org/10.1063/1.5000139