Алгебраические кривые высших порядков в преподавании высшей математики. Кривые выше третьего порядка

Е.Д. Куланин; М.Е. Степанов

doi:10.17759/mda.2026160314

Моделирование и анализ данных
2026. Том 16. № 3. С. 274–291
https://doi.org/10.17759/mda.2026160314
ISSN: 2219-3758 / 2311-9454 (online)

Алгебраические кривые высших порядков в преподавании высшей математики. Кривые выше третьего порядка

Е.Д. Куланин, М.Е. Степанов

Резюме

Контекст и актуальность. В рабочих программах дисциплин «Геометрия и топология», «Математический анализ», «Математика» и других, входящих в образовательные программы специальностей по информационным технологиям, важное место занимает понятие алгебраической кривой. Освоение этого понятия требует от студентов способности к абстрактному мышлению и зачастую вызывают существенные затруднения. Цель. Повысить качество усвоения учебного материала по дисциплинам, связанным с понятием алгебраической кривой, используя при этом программные средства для визуализации различных алгебраических кривых и семейств алгебраических кривых. Ещё одной не менее важной целью является описание вопросов, которые могут стать темами курсовых и дипломных работ. Гипотеза. Использование программных средств для визуализации различных алгебраических кривых и семейств алгебраических кривых позволяет преподавателю максимально понятно подать материал, а студентам лучше усвоить материал и получить навыки решения задач на построение алгебраических кривых. Методы и материалы. В большинстве заданий в этой статье предлагается написать компьютерную программу, визуализирующую алгебраические кривые и их семейства. Результаты. Разработана система заданий, позволяющих студентам строить циклоидальные кривые с помощью компьютерных программ. Выводы. Применение разработанной системы учебных заданий подтвердило важность использования специальных программных средств для усвоения материала по теории алгебраических кривых.

Общая информация

Ключевые слова: высшее образование, методика преподавания математики, аналитическая геометрия, визуальные образы, алгебраические кривые порядка выше трех, циклоидальные кривые, эпициклоиды и гипоциклоиды, трохоиды, эпитрохоиды и гипотрохоиды, методы построения алгебраических кривых, геометрические образы алгебраических кривых

Рубрика издания: Методика преподавания

Тип материала: научная статья

DOI: https://doi.org/10.17759/mda.2026160314

Поступила в редакцию 29.03.2026

Поступила после рецензирования 14.08.2026

Принята к публикации 15.08.2026

Опубликована 30.09.2026

Для цитаты: Куланин, Е.Д., Степанов, М.Е. (2026). Алгебраические кривые высших порядков в преподавании высшей математики. Кривые выше третьего порядка. Моделирование и анализ данных, 16(3), 274–291. https://doi.org/10.17759/mda.2026160314

Лицензия: CC BY-NC 4.0

Полный текст

Введение

Статья продолжает цикл методических разработок авторов (Куланин, Степанов, Нуркаева, 2020); (Куланин, Степанов, Нуркаева, 2021); (Куланин, Степанов, 2024); (Куланин, Степанов, 2025).

Непосредственно она продолжает статью «Алгебраические кривые высших порядков в преподавании высшей математики. Кубические кривые» (Куланин, Степанов, 2026). В ней обсуждаются некоторые проблемы, связанные с путями повышения культуры математического мышления студентов-математиков. Главным объектом обсуждения являются алгебраические кривые выше третьей степени. Авторы опираются на опыт работы на факультете информационных технологий МГППУ.

Кривые выше третьего порядка

Кривые высших порядков образуют очень сложные множества. Уже для кубик возникают проблемы с классификацией. И, конечно классификация кривых выше третьего порядка, несравненно сложнее. Шестнадцатая проблема Гильберта, которая предлагает разрешить вопрос о топологии алгебраических кривых и поверхностей, направлена в частности на вопросы, тесно связанные с классификацией алгебраических кривых (Проблемы Гильберта, 1969). Сделаны попытки классифицировать кривые четвёртого и пятого порядка. Кривые выше пятого порядка исследованы лишь по отдельным представителям (Савёлов А.А., 1960).

Однако уже в семнадцатом веке математики хорошо понимали, насколько алгебраических кривые высоких порядков могут иметь прихотливую и сложную форму. Великий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц был убежден в существовании гармонии мира и в том, что именно математика способна выразить гармонию вселенной в целом и гармонию телесных форм в частности. У Лейбница есть ссылка на слова амстердамского бургомистра Иоганна Гудде, который активно занимался геометрией, развивая методы Декарта: «Я думаю, что, говоря языком алгебры, если в одной формуле высшей характеристики выразить какое-либо существенное для универсума явление, то в такой формуле можно будет прочесть последующие, будущие явления во всех частях универсума и во все строго определенные времена, подобно тому, как господин Гудде был намерен в свое время начертить такую алгебраическую кривую, контур которой обозначил бы все черты определенного лица». Здесь мы встречаемся с первым указанием на роль алгебраических кривых при математическом моделировании сложных форм.

Мечта Гудде пока не осуществилась, но исследование кривых выше третьего порядка вполне возможно даже на уровне курсовых и дипломных работ. При этом можно двигаться по тем же направлениям, которые использовались при изучении кривых третьего порядка. Прежде всего, можно познакомиться с замечательными кривыми высших порядков, описание которых дано в книге (Савёлов А.А., 1960).

Большой интерес представляет рассмотрение циклоидальных кривых и трохоид. О них достаточно подробно пишется в статьях (Степанов М.Е., 2015; Степанов М.Е., 2016). Циклоидальные кривые образуются при качении без скольжения одной окружности по другой, в том числе и по её внутреннему ободу. При этом круги могут иметь разный диаметр. Если вычерчивающее перо находится на ободе катящегося круга, то в случае внешнего соприкосновения кругов кривая называется эпициклоидой, а в случае внутреннего соприкосновения – гипоциклоидой. По аналогии с циклоидой могут рассматриваться удлинённые и укороченные эпициклоиды и гипоциклоиды. Они, в свою очередь называются трохоидами. При этом используются термины – эпитрохоиды и гипотрохоиды.

Познакомимся с эпициклоидами и гипоциклоидами. Начнём с эпициклоид. Эпициклоида представляет собой последовательность арок (рис. 1). Кроме того, эти арки могут располагаться на нескольких оборотах неподвижной окружности.

Алгебраическим кривыми являются те эпициклоиды, у которых отношение радиусов неподвижного (

r_{0}

) и катящегося кругов (

r_{1}

) является рациональным числом

k_{1} = \frac{r_{1}}{r_{0}}

. Именно они являются замкнутыми. Пусть конкретное значение

k_{1}

равно

\frac{m}{n}

, тогда

n

является числом арок, а

m

– числом оборотов, после которого арки смыкаются.

Задание 1. Доказать следующую теорему: «Пусть точки B и D движутся по окружности радиуса

r_{0} + 2 ∙ r_{1}

с постоянными скоростями, причём скорость точки D в

1 + \frac{1}{k_{1}}

раз больше скорости точки В, где

k_{1} = \frac{r_{1}}{r_{0}}

. Точка М, определяемая условием

BM = \frac{k_{1}}{1 + 2 ∙ k_{1}} BD

описывает эпициклоиду, а любая хорда BD является касательной к этой эпициклоиде (рис. 1)».

Задание 2. На основе теоремы из предыдущего задания написать программу построения эпициклоиды.

Решение. В программе исходными величинами выбраны переменные

m, n, r_{0}

. Величины

k_{1}

r_{1}

вычисляются на основе теоремы из предыдущего задания. На рисунках 2 – 4 показаны кардиоида (одна арка на одном обороте), эпициклоида с семью арками на одном обороте и эпициклоида с пятью арками на двух оборотах (

m = 2, n = 5) .

GraphicsWindow.Width = 600

GraphicsWindow.Height = 600

pi = Math.Pi

'Число арок

n = 5

'Число оборотов, на которые опираются арки

m = 2

k1 = m/n

x0 = 300

y0 = 300

r0 = 100

GraphicsWindow.DrawEllipse(x0-r0,y0-r0,2*r0,2*r0)

r1 = r0*k1

r = r0 + 2*r1

GraphicsWindow.DrawEllipse(x0-r,y0-r,2*r,2*r)

For u1 = 0 To 2*pi*m Step 2*pi/5000

u2 = u1*(1 + 1/k1)

x1 = x0 + r* Math.Cos(u1)

y1 = y0 - r* Math.Sin(u1)

x2 = x0 + r* Math.Cos(u2)

y2 = y0 - r* Math.Sin(u2)

xm = x1 + (k1/(1 + 2*k1))*(x2 - x1)

ym = y1 + (k1/(1 + 2*k1))*(y2 - y1)

GraphicsWindow.SetPixel(xm,ym,"")

EndFor

Рис. 2. Кардиоида. Одна арка на одном обороте

Fig. 2. Cardioid. One arch on one turn

Рис. 3. Эпициклоида с семью арками на одном обороте

Fig. 3. Epicycloid with seven arches in one revolution

Рис. 4. Эпициклоида с пятью арками на двух оборотах

Fig. 4. Epicycloid with five arches in two rotations

Задание 3. Если точка М делит отрезок BD в отношении р, не зависящем от

k_{1}

, то при

m = 1 и n = 1

будет построена не кардиоида, а улитка Паскаля. Построить улитку Паскаля при

p = \frac{1}{2}

(рис. 5).

Перейдём к гипоциклоидам. Гипоциклоиды возникают при качении подвижной окружности по внутреннему ободу неподвижной окружности. При этом перо находится непосредственно на ободе подвижной окружности.

Приступая к изучению гипоциклоид, сохраним обозначения из первой части статьи. Прежде всего, речь идёт о том, что r0 – радиус неподвижной окружности и r1 – радиус подвижной окружности, наконец

k_{1} = \frac{r_{1}}{r_{0}}

. По прежнему будем считать, что

k_{1}

равно

\frac{m}{n}

. Как и для эпициклоид использование двух исходных параметров r0 и k1 позволяют строить любые гипоциклоиды. Кроме того, ведём обозначение

q = 1 - \frac{1}{k_{1}}

Задание 4. Доказать следующую теорему: «Пусть точки А и D движутся по окружности радиуса r0 с постоянными угловыми скоростями в разные стороны, причём модуль скорости точки D в q раз больше скорости точки А. Тогда точка М, определяемая условием

AM = \frac{1}{1 + q} ∙ AD

, описывает гипоциклоиду. Точка В является пересечением линии центров подвижной и неподвижной окружностей с окружностью радиуса

r_{0} - 2 ∙ r_{1}

. Прямая ВМ является касательной к гипоциклоиде (рис. 6)».

Задание 5. На основе теоремы из предыдущего задания написать программу построения гипоциклоиды.

Решение. Программа построения гипоциклоид похожа на программу построения эпициклоид. На рисунках 7 – 9 показаны дельтоида или кривая Штейнера (три арки на одном обороте), гипоциклоида с семью арками на одном обороте и гипоциклоида с девятью арками на двух оборотах (

m = 2, n = 9) .

GraphicsWindow.Width = 600

GraphicsWindow.Height = 600

pi = Math.Pi

'Число арок

n = 3

'Число оборотов, на которые опираются арки

m = 1

k1 = m/n

x0 = 300

y0 = 300

r0 = 250

GraphicsWindow.DrawEllipse(x0-r0,y0-r0,2*r0,2*r0)

r1 = r0*k1

r = r0 - 2*r1

q = 1 - 1/k1

GraphicsWindow.DrawEllipse(x0-r,y0-r,2*r,2*r)

For u1 = 0 To 2*pi*m Step 2*pi/5000

u2 = u1*q

x1 = x0 + r* Math.Cos(u1)

y1 = y0 - r* Math.Sin(u1)

x2 = x0 + r* Math.Cos(u2)

y2 = y0 - r* Math.Sin(u2)

xm = x1 + (1/(1 + q))*(x2 - x1)

ym = y1 + (1/(1 + q))*(y2 - y1)

GraphicsWindow.SetPixel(xm,ym,"")

EndFor

Рис. 7. Кривая Штейнера (три арки на одном обороте)

Fig. 7. Steiner curve (three arches in one rotation)

Рис. 8. Гипоциклоида с семью арками на одном обороте

Fig. 8. Hypocycloid with seven arches in one revolution

Рис. 9. Гипоциклоида с девятью арками на двух оборотах

Fig. 9. Hypocycloid with nine arches in two rotations

Задание 6. Написать обучающие или ознакомительные программы для изучения трохоид различных видов.

Рассмотрим в качестве ещё одного вида кривых выше третьего порядка овалы Декарта, имеющие три фокуса (Савёлов А.А., 1960). Один из вариантов их построения этих кривых, основанный на идеях крупного французского геометра Мишеля Шаля, жившего двумя веками позже Декарта, описан в (Степанов М.Е., 1996).

Кратко опишем механизм, с помощью которого может быть построен овал Декарта (рис. 10). Вообще использование механизмов для решения математических задач в духе Рене Декарта.

Стержень РМ с точкой Р, закреплённой шарниром, может вращаться вокруг неё так, чтобы пересекаться сразу с двумя окружностями. Через точки пересечения стержня с окружностями и центры окружностей проходят прямые, которые тоже можно смоделировать рычагами с шарнирами в центрах окружностей. Точка пересечения этих прямых вычерчивает овал Декарта.

Задание 7. Написать программу для построения овала Декарта.

Решение. Написание программы требует предварительного проведения ряда вычислений. Результат её работы показан на рисунке 11.

GraphicsWindow.Width = 600

GraphicsWindow.Height = 600

x0 = -100

y0 = 300

l1 = 300

r1 = 200

l2 = 100

r2 = 20

d = Math.SquareRoot(l1*l1 - r1*r1)

u = Math.ArcTan(r1/d)

For al = -(u-.001) To u-.001 Step 2*(u-.001)/5005

sb = l1* Math.Sin(al)/r1

cb = Math.SquareRoot(1 - sb*sb)

tb = sb/cb

bt = Math.ArcTan(tb)

sg = 12*Math.Sin(al)/r2

cg = Math.SquareRoot(1 - sg*sg)

tg = sg/cg

gm = Math.ArcTan(tg)

f1 = gm - al

f2 = al + bt

f3 = -(al + gm)

f4 = - (bt - al)

s = (l1 - l2)* Math.Tan(f2)/(Math.Tan(f1) + Math.Tan(f2))

h = s*Math.Tan(f1)

GraphicsWindow.SetPixel(x0 + l2 + s, y0 + h,"")

s = (l1 - l2)* Math.Tan(f4)/(Math.Tan(f1) + Math.Tan(f4))

h = s*Math.Tan(f1)

GraphicsWindow.SetPixel(x0 + l2 + s, y0 + h,"")

s = (l1 - l2)* Math.Tan(f2)/(Math.Tan(f3) + Math.Tan(f2))

h = s*Math.Tan(f3)

GraphicsWindow.SetPixel(x0 + l2 + s, y0 + h,"")

s = (l1 - l2)* Math.Tan(f4)/(Math.Tan(f3) + Math.Tan(f4))

h = s*Math.Tan(f3)

GraphicsWindow.SetPixel(x0 + l2 + s, y0 + h,"")

EndFor

Рис. 11. Овал Декарта

Fig. 11. The Descartes oval

Сравнив рисунки 5 и 11, можно прийти к выводу, что овал Декарта имеет нечто общее с улиткой Паскаля, поскольку он похож на разорванную улитку. Это обстоятельство может послужить темой для исследования.

Естественно, что могут проводиться и другие исследования кривых высших порядков. Подобно исследованию кривых третьего порядка можно начать с рассмотрения многочленов высших порядков

F (x, y) = 0

от двух переменных, разлагающихся на множители, а именно на неприводимые многочлены меньшей степени. Затем можно перейти к построению кривых вида

F (x, y) = c

с помощью сканирования.

Задание 8. Рассмотреть кривую пятого порядка, уравнение которой разлагается на два следующих кубических многочлена

y + x^{3} = 0

x ∙ y - 1 = 0

. Написать программу, которая строит на её основе другие кривые пятого порядка.

Решение. Результат работы программы показан на рисунке 12.

GraphicsWindow.Width = 600

GraphicsWindow.Height = 600

x0 = 300

y0 = 300

ed = 100

For x = -3 To 3 Step .002

For y = -3 To 3 Step .002

s1 = y + x*x*x

s2 = x*y - 1

z = s1*s2

xe = x0 + x*ed

ye = y0 - y*ed

If Math.Abs(z) < .01 Then

GraphicsWindow.FillEllipse(xe-3, ye-3, 6, 6)

EndIf

EndFor

For c = -5 To 5 Step .5

For x = -3 To 3 Step .002

For y = -3 To 3 Step .002

s1 = y + x*x*x

s2 = x*y - 1

z = s1*s2 + c

xe = x0 + x*ed

ye = y0 - y*ed

If Math.Abs(z) < .01 Then

GraphicsWindow.SetPixel(xe, ye, "blake")

EndIf

EndFor

Рис. 12. Кривая пятого порядка

Fig. 12. The fifth-order curve

Задание 9. Перейти от схематического изображения лица (рис. 13), выполненного с помощью кругов, на изображение, очерченное двумя алгебраическими кривыми.

Решение. Исходный рисунок состоит из семи окружностей. Следовательно, программа строит две кривые четырнадцатого порядка. Результат показан на рис. 14.

GraphicsWindow.Width = 600

GraphicsWindow.Height = 600

x0 = 300

y0 = 300

ed = 75

eps = 5

For c = -40 To -5 Step 35

For x = -4 To 4 Step .002

For y = -3 To 3 Step .002

s1 = x*x + .8*y*y - 4

s2 = (x-1)*(x-1) + (y-1/2)*(y-1/2) - 1/4

s3 = (x+1)*(x+1) + (y-1/2)*(y-1/2) - 1/4

s4 = x*x + y*y - 1/4

s5 = x*x + (y+1)*(y+1) - 1/4

s6 = (x-2.25)*(x-2.25) + y*y - 1/9

s7 = (x+2.25)*(x+2.25) + y*y - 1/9

z = s1*s2*s3*s4*s5*s6*s7 + c

xe = x0 + x*ed

ye = y0 - y*ed

If Math.Abs(z) < eps Then

GraphicsWindow.SetPixel(xe, ye, "blake")

EndIf

EndFor

eps = 1

EndFor

Рис. 13. Схематическое изображение лица с помощью кругов

Fig. 13. Schematic representation of a face using circles

Рис. 14. Схематическое изображение лица с помощью алгебраических кривых

Fig. 14. Schematic representation of a face using algebraic curves

Результат можно рассматривать как математическую шутку. Но можно воспринять его как малюсенький шажок к выше упомянутой задаче Иоганна Гудде.

Далее обратимся к построению пучков алгебраических кривых. Это построение можно провести программами аналогичными тем программам, которые использовались в заданиях 26 и 27 статьи (Куланин, Степанов, 2026). Вместо девяти точек речь пойдёт о двадцати пяти точках. Пучок в целом мы строить не будем и ограничимся только отдельными кривыми, входящими в него.

Задание 10. Построить алгебраическую кривую пятого порядка на основе двух кривых, распадающихся на два семейства – пять горизонтальных прямых и пять вертикальных прямых.

Решение. Результаты работы программы при различных значениях

λ_{1}

на рис.15 (

λ_{1}

= 0.25), 16 (

λ_{1}

= 0.5) и 17 (

λ_{1}

= 0.55),

GraphicsWindow.Width = 600

GraphicsWindow.Height = 600

x0 = 300

y0 = 300

ed = 100

lm1 = .25

lm2 = 1 - lm1

For x = -3 To 3 Step .002

For y = -3 To 3 Step .002

s1 = (x - 2)*(x - 1)*x*(x + 1)*(x + 2)

s2 = (y - 2)*(y - 1)*y*(y + 1)*(y+2)

z = lm1*s1 + lm2*s2

If Math.Abs(z) < .01 Then

xe = x0 + x*ed

ye = y0 - y*ed

GraphicsWindow.SetPixel(xe, ye, "blake")

EndIf

EndFor

For x = -2 To 2

For y = -2 To 2

xe = x0 + x*ed

ye = y0 - y*ed

GraphicsWindow.FillEllipse(xe-5, ye-5, 10, 10)

EndFor

Рис. 15. Кривая пятого порядка из задания 10 ( 𝜆1 = 0.25)

Fig. 15. Fifth-order curve from task 10 ( 𝜆1 = 0.25)

Рис. 16. Кривая пятого порядка из задания 10

( $λ_{1}$ = 0.5)

Fig. 16. Fifth-order curve from task 10

( $λ_{1}$ = 0.5)

Рис. 17. Кривая пятого порядка из задания 10

( $λ_{1}$ = 0.55)

Fig. 17. Fifth-order curve from task 10

( $λ_{1}$ = 0.55)

Наконец, можно рассматривать линейные системы алгебраических кривых любого порядка.

Задание 11. Провести преобразование астроиды, уравнение которой имеет вид

(x^{2} + y^{2} - r^{2})^{3} + 27 r^{2} x^{2} y^{2} = 0

, в окружность (рис. 18).

Решение. Программа очень компактна.

GraphicsWindow.Width = 620

GraphicsWindow.Height = 600

x0 = 300

y0 = 300

ed = 100

r1 = 1

r2 = 2.5

For lm1 = 0 To 1 Step .1

lm2 = 1 - lm1

For x = -3 To 3 Step .005

For y = -3 To 3 Step .005

xe = x0 + x*ed

ye = y0 - y*ed

z1 = (x*x + y*y - r1*r1)*(x*x + y*y - r1*r1)*(x*x + y*y - r1*r1) + 27*r1*r1*x*x*y*y

z2 = (x*x + y*y - r2*r2)

z = lm1*z1 + lm2*z2

If Math.Abs(z) < .1 Then

GraphicsWindow.SetPixel(xe, ye, "")

EndIf

EndFor

Рис. 18. Преобразование астроиды в окружность

Fig. 18. Converting an astroid into a circle

Заключение

В данной статье рассматриваются вопросы, связанные с углублённым изучением кривых выше третьего порядка. Особое внимание уделяется методам построения алгебраических кривых.

Обсуждение соответствующих вопросов может помочь молодым преподавателям при изучении различных разделов высшей математики. Кроме того, некоторые рассмотренные темы могут быть предложены в качестве тем курсовых и дипломных работ.

Литература

Александров, П. С. (Ред.). (1969). Проблемы Гильберта: сборник. Наука.
Alexandrov, P. S. (Ed.). (1969). Hilbert's problems: A collection. Nauka.
Дьедонне, Ж. (1972). Линейная алгебра и элементарная геометрия. Наука.
Dieudonné, J. (1972). Linear algebra and elementary geometry. Nauka.
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2022). Всестороннее рассмотрение математических понятий как методический прием. Моделирование и анализ данных, 12(4), 67–84. https://doi.org/10.17759/mda.2022120405
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2022). Comprehensive review of mathematical concepts as a methodological approach. Modeling and Data Analysis, 12(4), 67–84. https://doi.org/10.17759/mda.2022120405
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2022). Из опыта работы в режиме дистанционного обучения. Моделирование и анализ данных, 12(3), 58–70. https://doi.org/10.17759/mda.2022120305
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2022). From the experience of working in remote mode education. Modeling and Data Analysis, 12(3), 58–70. https://doi.org/10.17759/mda.2022120305
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2022). О визуализации решений некоторых экстремальных задач. Моделирование и анализ данных, 12(4), 94–104. https://doi.org/10.17759/mda.2022120407
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2022). On the visualization of solutions to some extremal problems. Modeling and Data Analysis, 12(4), 94–104. https://doi.org/10.17759/mda.2022120407
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2024). Вычислительный эксперимент в преподавании высшей математики на примере теории чисел. Моделирование и анализ данных, 14(1), 170–195. https://doi.org/10.17759/mda.2024140111 Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2024). Computational experiment in teaching higher mathematics on the example of number theory. Modeling and Data Analysis, 14(1), 170–195. https://doi.org/10.17759/mda.2024140111
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2024). Вычислительный эксперимент в преподавании высшей математики: Комбинаторика и её приложения. Моделирование и анализ данных, 14(3), 174–202. https://doi.org/10.17759/mda.2024140310
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2024). Computational experiment in teaching higher mathematics: Combinatorics and its applications. Modeling and Data Analysis, 14(3), 174–202. https://doi.org/10.17759/mda.2024140310
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2024). Использование образов в преподавании высшей математики. Моделирование и анализ данных, 14(2), 192–225. https://doi.org/10.17759/mda.2024140212
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2024). Using images in teaching higher mathematics. Modeling and Data Analysis, 14(2), 192–225. https://doi.org/10.17759/mda.2024140212
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2025). Алгебраические кривые высших порядков в преподавании высшей математики: Методы построения алгебраических кривых. Моделирование и анализ данных, 15(4), 122–137. https://doi.org/10.17759/mda.2025150408
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2025). Algebraic curves of higher orders in the teaching of higher mathematics: Methods of constructing algebraic curves. Modeling and Data Analysis, 15(4), 122–137. https://doi.org/10.17759/mda.2025150408
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е. (2026). Алгебраические кривые высших порядков в преподавании высшей математики: Кубические кривые. Моделирование и анализ данных, 16(2), 210–242. https://doi.org/10.17759/mda.2026160212
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E. (2026). Algebraic curves of higher orders in teaching higher mathematics: Cubic curves. Modeling and Data Analysis, 16(2), 210–242. https://doi.org/10.17759/mda.2026160212
Куланин, Е. Д., Нгуен Ву Куанг, Степанов, М. Е. (2019). Осязаемая предметность с компьютерной поддержкой. Моделирование и анализ данных, 9(4), 145–156. https://doi.org/10.17759/mda.2019090412
Kulanin, Y. D., Nguyen Vu Quang, Stepanov, M. E. (2019). Tangible subjectivity with computer support. Modeling and Data Analysis, 9(4), 145–156. https://doi.org/10.17759/mda.2019090412
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е., Нуркаева, И. М. (2020). Роль образного мышления в научном мышлении. Моделирование и анализ данных, 10(2), 110–128. https://doi.org/10.17759/mda.2020100209
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E., Nurkaeva, I. M. (2020). The role of imagination in scientific thinking. Modeling and Data Analysis, 10(2), 110–128. https://doi.org/10.17759/mda.2020100209
Куланин, Е. Д., Степанов, М. Е., Нуркаева, И. М. (2021). О различных подходах к решению экстремальных задач. Моделирование и анализ данных, 11(1), 40–60. https://doi.org/10.17759/mda.2021110104
Kulanin, Y. D., Stepanov, M. E., Nurkaeva, I. M. (2021). On different approaches to solving extreme problems. Modeling and Data Analysis, 11(1), 40–60. https://doi.org/10.17759/mda.2021110104
Куланин, Е.Д., Степанов, М.Е. (2025). Алгебраические кривые низших порядков в преподавании высшей математики. Моделирование и анализ данных,15(1), 168–209. https://doi.org/10.17759/mda.2025150110
Kulanin, Y.D., Stepanov, M.E. (2025). Algebraic curves of lower order in the teaching of higher mathematics. Modelling and Data Analysis, 15(1), 168–209. (In Russ.). https://doi.org/10.17759/mda.2025150110
Куланин, Е.Д., Степанов, М.Е. (2025). Множества точек, находящихся на рациональных расстояниях друг от друга. Моделирование и анализ данных,15(1), 210–251. https://doi.org/10.17759/mda.2025150111
Kulanin, Y.D., Stepanov, M.E. (2025). Sets of points that are a certain distance apart. Modelling and Data Analysis, 15(1), 210–251. (In Russ.). https://doi.org/10.17759/mda.2025150111
Савёлов, А. А. (1960). Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). Государственное издательство физико-математической литературы.
Savelov, A. A. (1960). Plane curves: Taxonomy, properties, applications (Reference manual). State Publishing House of Physics and Mathematics Literature.
Степанов, М. Е. (1996). Рене Декарт: К 400-летию со дня рождения. Математика (Еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), (12).
Stepanov, M. E. (1996). René Descartes: On the 400th anniversary of his birth. Mathematics (Weekly Supplement to the newspaper "Pervoye Sentyabrya"), (12).
Степанов, М. Е. (2015). Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника. Моделирование и анализ данных(1).
Stepanov, M. E. (2015). Klein's Erlangen program and triangle geometry. Modeling and Data Analysis(1).
Степанов, М. Е. (2016). Эрлангенская программа Клейна и геометрия треугольника: Окончание. Моделирование и анализ данных(1).
Stepanov, M. E. (2016). Klein's Erlangen program and the geometry of a triangle: Conclusion. Modeling and Data Analysis(1).

Информация об авторах

Евгений Дмитриевич Куланин, кандидат физико-математических наук, профессор, Московский государственный психолого-педагогический университет (ФГБОУ ВО МГППУ), Москва, Российская Федерация, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6093-7012, e-mail: lucas03@mail.ru

Михаил Евграфович Степанов, кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики факультета информационных технологий, Московский государственный психолого-педагогический университет (ФГБОУ ВО МГППУ), Москва, Российская Федерация, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4803-8211, e-mail: mestepanov@yandex.ru

Вклад авторов

Куланин Е.Д. — идеи исследования, написание и оформление рукописи, разработка методики, планирование исследования, визуализация результатов исследования.

Степанов М.Е. — идеи исследования, написание и оформление рукописи; разработка описанного ПО, планирование исследования, визуализация результатов исследования.

Все авторы приняли участие в обсуждении результатов и согласовали окончательный текст рукописи.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Метрики

Просмотров web

За все время: 0
В прошлом месяце: 0
В текущем месяце: 0

Скачиваний PDF

За все время: 0
В прошлом месяце: 0
В текущем месяце: 0

Всего

За все время: 0
В прошлом месяце: 0
В текущем месяце: 0

PlumX

Метрики публикации