Синтез H∞ - наблюдателей состояния нелинейных непрерывных динамических систем, линейных по управлению и возмущению

Контекст и актуальность. В условиях все более обширного распространения и повсеместного использования летательных аппаратов и сложных аэрокосмических систем важное значение имеет развитие систем совместного оценивания и управления, в которых в алгоритме управления вместо вектора состояния используется его оценка по результатам накопленной информации об измерениях. В рамках современной теории управления одним из эффективных подходов к решению данной проблемы являются методы синтеза H∞ - регуляторов и H∞ - наблюдателей состояния. Использование H∞ - методов позволяет построить робастные регуляторы или наблюдатели, способные функционировать в условиях внешних возмущений и помех. Одни из самых популярных способов решения таких задач связаны с использованием линейных матричных неравенств, а также частотного метода, связанного с преобразованием Фурье. Однако при рассмотрении сложных технических задач их применение бывает затруднительным. Поэтому в рамках работы предлагается приближенный метод, позволяющий решать задачу нахождения H∞ - наблюдателя для нелинейных непрерывных динамических систем, линейных по управлению и возмущению. Цель. Сформулировать и доказать достаточные условия H∞ - наблюдателя для нелинейных непрерывных динамических систем, линейных по управлению и возмущению, при наличии неопределенности задания начальных условий, ограниченных внешних воздействиях и погрешностях измерения на полубесконечном промежутке времени функционирования системы. Сформулировать приближенный метод синтеза H∞ - наблюдателя. Проверить предложенный подход на модельном примере. Гипотеза. В рамках работы предлагается приближенный метод, позволяющий решать задачу нахождения наблюдателя для динамических систем, нелинейных по состоянию, аналогичный методам, применяемым для линейных систем. Эта гипотеза возникла в результате анализа решения прикладных задач синтеза в нелинейных системах при отсутствии ограниченных внешних воздействий. Ее реализация связана с распространением методологии применения уравнений Риккати с коэффициентами, зависящими от вектора состояния, на задачи синтеза H∞ - наблюдателя для класса нелинейных систем, линейных по управлению и возмущению. Методы и материалы. В данной статье сформулированы достаточные условия синтеза H∞ - наблюдателя для нелинейных непрерывных динамических систем, линейных по управлению и возмущению, при наличии неопределенности задания начальных условий, ограниченных внешних воздействиях и погрешностях измерения на полубесконечном промежутке времени функционирования системы. При решении задачи синтеза наблюдателя предлагается искать приближенное решение по аналогии с теорией линейных систем, т.е. исходная нелинейная динамическая система посредством факторизации преобразуется к структуре, похожей на линейную, с матрицами, зависящими от вектора состояния. Для реализации разработанного метода и решения модельного примера использовался математический пакет MATLAB. Результаты. В результате работы решен модельный пример для проверки эффективности предложенного метода синтеза H∞ - наблюдателей. Графики изменения координат вектора состояния и их оценок иллюстрируют желаемое качество переходных процессов в условиях неполной информации о состоянии объекта. Выводы. В результате работы сформулированы и доказаны достаточные условия H∞ - наблюдателя для нелинейных непрерывных динамических систем, линейных по управлению и возмущению. Предложен приближенный подход для решения задачи синтеза H∞ - наблюдателя. Предложен пошаговый алгоритм решения. Решен модельный пример и приведены графики переходных процессов и их оценок, демонстрирующий результаты численного моделирования. Анализ поведения ошибок подтверждает работоспособность предложенного метода, который может быть применен к решению прикладных задач управления аэрокосмическими системами.

1. Koobloch, H.W., Isidori, A. Flockerzi, D. (1993). Topics in control theory. DMV-Seminar; Bd. 22, Basel; Springer.
2. Doyle, J., Francis, B., Tannenbaum, A. (1990). Feedback Control Theory. Macmillan Publishing Co.
3. Skogestad, S., Postlethwaite, I. (2005). Multivariable Feedback Control: Analysis and Design. John Wiley and sons.
4. Поляк, Б.Т., Щербаков, П.С. (2002). Робастная устойчивость и управление. М.: Наука.
   Polyak, B.T., Shcherbakov, P.S. (2002). Robastnaya ustoychivost' i upravleniye [Robust stability and control]. Nauka, Moscow. (In Russ.).
5. Green, M., Limebeer, D.J.N. (2012). Linear Robust Control. Dover Publications.
6. Simon, D. Optimal State Estimation. (2006). Kalman, and Nonlinear Approaches. John Wiley and sons.
7. Поляк, Б.Т., Хлебников, М.В., Щербаков, П.С. (2014). Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.: URSS/ЛЕНАНД.
   Polyak, B.T., Khlebnikov, M.V., Shcherbakov, P.S. (2014). Upravleniye lineynymi sistemami pri vneshnikh vozmushcheniyakh: Tekhnika lineynykh matrichnykh neravenstv [Control of linear systems under external disturbances: Technique of linear matrix inequalities]. URSS/LENAND, Moscow. (In Russ.).
8. Хлебников, М.В., Поляк, Б.Т., Кунцевич, В.М. (2011). Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов). Автоматика и телемеханика, № 11, 9–59.
   Khlebnikov, M.V., Polyak, B.T., Kuntsevich, V.M. (2011). Optimization of linear systems  subject to bounded exogenous disturbances: The invariant ellipsoid technique. Autom. Remote Control, 72(11), 2227–2275.
9. Поляк, Б.Т., Хлебников, М.В., Рапопорт, Л.Б. (2019). Математическая теория автоматического управления. М.: URSS/ЛЕНАНД.
   Polyak, B.T., Khlebnikov, M.V., Rapoport, L.B. (2019). Matematicheskaya teoriya avtomaticheskogo upravleniya [Mathematical theory of automatic control].     URSS/LENAND, Moscow. (In Russ.).
10. Баландин, Д.В., Коган, М.М. (2013). Минимаксная фильтрация:-оптимальные наблюдатели и обобщенные -оптимальные фильтры. Автоматика и телемеханика, № 4, 43–58.
    Balandin, D.V., Kogan, M.M. (2013). Minimax filtering: -optimal observers and generalized -optimal filters. Autom. Remote Control, 74(4), 575–587.
11. Shaked, U., Theodor, Y. (1992). -optimal estimation: a tutorial. 31st IEEE Conf. Decision Contr., vol.2 (pp. 2278–2286), New York, NY, USA.
12. Пантелеев, А.В., Яковлева, А.А. (2023). Достаточные условия существования наблюдателя состояния линейных непрерывных динамических систем. Моделирование и анализ данных, 13(2), 36–63. https://doi.org/10.17759/mda.2023130202
    Panteleev, A.V., Yakovleva, A.A. (2023). Sufficient Conditions for the Existence of a H-infinity State Observer for Linear Continuous Dynamical Systems. Modelling and Data Analysis, 13(2), 36–63. (In Russ., а in Engl.). https://doi.org/10.17759/mda.2023130202
13. Li, H., Fu, M. (1997) A linear matrix inequality approach to robust H1 filtering. IEEE Trans. Signal Processing, 45(9), 2338–2350.
14. Shue, S., Agarwal, R.K. (1999). Design of automatic landing systems using mixed   J. of Guidance, Control and Dynamics, 22, 103–114.
15. Lungu, R., Lungu, M. (2015) Control of the aircraft lateral-directional motion during landing using the control and the dynamic inversion. of the Romanian Academy. Ser. A (pp. 547–555), V. 16, № 64.
16. Banks, H.T., Lewis, B.M., Tran, H.T. (2007). Nonlinear feedback controllers and compensators: A state-dependent Riccati equation approach. Computational Optimization and Applications, 37(2), 177–218.
17. Cloutier, J.R., D’Souza, C.N., Mracek, C.P. (1996). Nonlinear regulation and nonlinear H-infnity control via the state-dependent Riccati equation technique. Part 1, theory; Part 2, Examples. In Proceedings of the 1st International Conference on Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace (pp. 117–141), Daytona Beach, USA.
18. Belkzadeh, H., Taghirad, H.D. (2012). Observer based on the differential state-dependent Riccati equation. J. Automation and Computing, 9(4), 358–368. DOI: 10.1007/s11633-012-0656-y