Численные решения задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с особыми точками

1150

Аннотация

Представлен явный численный метод решения задачи на собственные значения и связанных с ней проблем для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с особыми точками, а именно, радиального уравнения Шредингера, описывающего кулоновские состояния водородоподоб-ного атома, в частности, состояния мелких донорных примесей в объёмном прямозонном полупро-воднике или в полупроводниковой квантовой точке. Вычислены энергии и волновые функции нескольких нижайших дискретных состояний водородоподобного атома как в случае, когда известно точное аналитические решения задачи, что позволяет оценить точность метода, так и в случаях, когда применимы только численные методы. Рассмотрены следующие проблемы: связанные состояния во-дородоподобной примеси в квантовой точке, волновая функция основного состояния водородоподобных атомов в модели потенциала центральной ячейки нулевого радиуса, связанные состояния для кулоновского потенциала с жёсткой сердцевиной.

Общая информация

Ключевые слова: Численные методы, обыкновенные дифференциальные уравнения, особые точки, задача на собственные значения, кулоновский потенциал, потенциал с жёсткой сердцевиной

Рубрика издания: Численные методы

Тип материала: научная статья

Для цитаты: Полупанов А.Ф. Численные решения задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с особыми точками // Моделирование и анализ данных. 2014. Том 4. № 1. С. 129–138.

Полный текст

 

1.       ВВЕДЕНИЕ

Мы рассматриваем следующее радиальное уравнение Шредингера для кулоновских состояний

                                                                                               (1)

где r > 0 - радиальная переменная, l - неотрицательное целое (квантовое число орбитального углового момента), а - целое (а = 1 соответствует кулоновскому притяжению в атоме водорода), Rl (r) - кулоновская радиальная волновая функция, E -энергия. В общем случае, расстояния и энергия измеряются в единицах (эффективный боровский радиус) и  (эффективный ридберг), соответственно, где e - заряд электрона, m - эффективная масса электрона, или приведённая масса - в случае относительного движения двух притягивающихся частиц (экситон), к - статическая диэлектрическая проницаемость.

Уравнение (1) имеет две особые точки: регулярную особенность при r = 0 и иррегулярную особенность при r =

Уравнение (1) описывает кулоновские состояния атома водорода и водородоподобного атома в различных системах, например, состояния мелких донорных примесей в объёмных прямозонных полупроводниках или в полупроводниковых квантовых точках. В настоящей работе рассматривается задача на собственные значения и связанные с ней проблемы для уравнения (1). Энергии и волновые функции нескольких нижайших дискретных состояний вычисляются как в случае, когда известны точные аналитические решения задачи (см., например, [1,2]), что позволяет оценить точность расчётов, так и в задачах, решение которых возможны только с применением численных методов. Рассматривается задача о связанных состояниях водородоподобного атома в квантовой точке, о волновой функции основного состояния водородоподобных атомов в модели центрально-ячеечного потенциала нулевого радиуса [3,4], о связанных состояниях водородоподобного атома в модели кулоновского потенциала с жёсткой сердцевиной. Для решения этих проблем используются явные численно­аналитические методы, основанные на методе рекуррентных последовательностей [5, 6, 7].

Подстановка сводит (1) к системе двух уравнений первого порядка:

                                                                                                                               (2)

где 

Ясно (по определению, см. [8]), что точка r = есть регулярная особая точка для уравнения (1), а r = от - иррегулярная особенность (замена переменной z = 1/r). Методы построения решений уравнения (3), решения сингулярной задачи на собственные значения и задачи рассеяния для (3) развиты в [6,7] в общем случае, т.е. когда A(r) - это произвольная голоморфная в окрестности r = 0 n х n матричная функция, а (r) - n-мерный столбец. В данной работе рассматриваются решения уравнения, представленного в виде ОДУ второго порядка (1) (см. [5]).

2.          ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ

2.1.      Окрестность регулярной особенности r = 0

Регулярное решение (1) имеет вид степенного ряда

                                                                                                                             (3)

Где коэффициенты an удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

                                                                                                  (4)

Ясно, что коэффициент al есть произвольная константа C, которая определяется нормировкой. Выражение для производной решения получается непосредственным дифференцированием (3).

Второе, иррегулярное решение (1) имеет вид алгебраической комбинации степенных рядов и логарифмической функции:

                                                                                                           (5)

                                                           

Здесь  (r) - это решение (3), (4) с коэффициентом al, определяемым равенством

Коэффициенты bn удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

                                                                               (6)

Выбор значения коэффициента bl произволен и, для определённости, мы положили bl = 0, что приводит к пропорциональности al и D. Значение константы D определяется нормировкой.
Следует отметить, что, как следует из [6, Теорема 4] формальные степенные ряды в (3), (5) сходятся при r < и определяют фундаментальную матрицу решений уравнения (1). Ясно, что при численном расчёте суммирование в (3) и (5) обрывают при некотором конечном n = n0, выбираемом из соображений точности.
 

2.2. Окрестность иррегулярной особенности r = ∞

При построении асимптотических разложений решений в окрестности иррегулярной особенности r = ∞, будем следовать методу [5,9] (а не [7]). Подстановка в (1) приводит его к виду

                                                                                                             (7)

В свою очередь, подстановка

                                                                                        (8)

 

сводит (7) к следующему уравнению для функции

                                                                                            (9)

A(r) - 2×2 матричная функция с диагональным матричным коэффициентом A0:

                                                                          (10)

 

Для нахождения асимптотического разложения решений (8) при at r →∞ сделаем подстановку

z(r) = P (r)ω(r),                                                                                                                                       (11)

где матричная функция P (r) есть асимптотический ряд по обратным степеням r

причём полагаем, что P0 - единичная матрица, те. . Подчиним матрицу P(r) такому требованию, чтобы функция ω(r) была решением уравнения

                                                                                                                             (12)

где B(r) - диагональная матричная функция: которая также есть асимптотический ряд по Матрицы Pn и Bn удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям

                                                       (13)

Поскольку при нашем выборе матрицы B0 выполняется равенство

имеем:                                                                                                                      (14)

где

                                                                                     (15)

и произвол в выборе диагональных элементов матриц . Для определённости мы их полагаем равными нулю:

                                                                                                                                 (16)

При получаем из (13):

                                                                                                          (17)

Интегрирование уравнения (12) с диагональной матрицей B даёт:

                                                                                   (18)
где Ci - произвольные константы, что приводит к следующему выражению для асимптотического разложения решений уравнения (9):

                                                                                                                    (19)

Следует отметить, что равенства (18), (19) дают выражение для асимптотического разложения решений (9) при r → ∞ и в случае произвольного числа уравнений в системе (9). В рассматриваемом случае n=2, E < 0 (состояния дискретного спектра) нас будут интересовать только сходящиеся при r → ∞ решения (7), (1). Соответствующие асимптотические разложения решения и его

производной имеют вид

                                                                               (20)

 

где ω2 определяется (18) с произвольной константой C2 и (B0)2 = - λ.

3.         СШИВКА РЕШЕНИЙ. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

3.1.      Стандартный случай

Стандартная задача на собственные значения для уравнения (1) на [0, ∞) состоит в следующем: нужно найти такие значения параметра E: E < 0 (энергии), при которых решения Ri (r) ограничены при r = 0 и Ri (r) → 0 при r → ∞, нужно также найти решения, соответствующие этим собственным значениям E, и нормированные условием:

                                                                                                                                    (21)

Для решения задачи необходимо в некоторой промежуточной точке r = ȓ сшить регулярное при r = 0 решение (3) и его производную (lhs - «левое» решение), соответственно, с решением, сходящимся при r → ∞, и его производной (см. (20)) (rhs - «правое» решение). Если обозначить через Ф0( E) столбец, составленный из значений, принимаемых lhs (3) и его производной при ai = 1 (4) в точке r = ȓ при данном E, а - через (E) - столбец из rhs и его производной при С2 = 1, и определить 2х2 матрицу

то для выполнения сшивки должно выполняться равенство:

                                                                                                         (22)

Таким образом, процедура вычисления некоторого собственного значения E = E0 сводится к численному решению уравнения

det A(E) = 0                                                                                                                                        (23)

После определения собственного значения Е0, решая (22) находим связь между компонентами вектора х(Е0), а затем, используя (21), - значения констант (С2Е0) и ai(E0), чем полностью определяем собственную функцию и её производную на [0, ∞).

Следует отметить, что сшивка решений всегда может быть проведена с заданной точностью с помощью правильного выбора точки сшивки ȓ. Формально это можно выразить следующим образом: пусть X = Х(ȓ) обозначает некоторый математический объект, который нужно вычислить (например, энергия, собственная функция), тогда

При практических вычислениях, для оценки ошибок удобно использовать вариацию точки сшивки

Для оценки точности вычислений найдены энергии и волновые функции нескольких нижайших связанных состояний атома водорода (а =1) в (1). В этом случае известно точное аналитическое решение задачи [1, 2]. Энергии уровней (собственные значения) равны... Собственные функции (радиальные волновые функции) двух нижайших состояний с l = 0 имеют вид: (здесь первый индекс - главное квантовое число п, второй - l [1, 2]). Вычисленные значения энергий и собственных функций близки к точным с высокой точностью, в частности, для указанных состояний верными являются 14 значащих цифр в собственных значениях и 12 - в собственных функциях (подробное сравнение вычисленных и точных величин см. в разделе 3.2).

3.2.          Задача на собственные значения на конечном отрезке

В данном разделе рассматривается следующая сингулярная задача на собственные значения для уравнения (1) на конечном отрезке: нужно найти такие значения параметра Е, при которых ; нужно также найти решения (1), соответствующие этим собственным значениям Е, и нормированные условием:

                                                                                                                              (24)

Отметим, что к решению такой задачи на собственные значения сводится (в простой модели) задача о состояниях водородоподобного донора, расположенного в центре полупроводниковой сферической квантовой точки (КТ) (полупроводниковый шар малого (~ 10 нм) радиуса в диэлектрической матрице, см., например, [10]).

Задачу на собственные значения в этом случае следует решать численно - аналитическое решение можно найти только при тех значениях r0, когда узел собственной функции задачи на бесконечном полуинтервале совпадает с радиусом КТ [10]. В данном случае, процедура вычисления собственных значений сводится к численному решению уравнения

                                                                                                                               (25)

где - это регулярные при r = 0 решения (3). Для определённости, при вычислениях полагаем al = 1 в (4). После определения некоторого собственного значения Е0, равенства (3) и (4) дают выражения для ненормированного решения. Для получения нормированной собственной функции нужно вычислить интеграл в левой части (24) от полученного решения (назовём его Q), тогда нормированное решение даётся выражениями (3), (4) с . Интегрирование в левой части (24) с функцией (3) даёт

                                                                                                           (26)

 

 

В Таблице 1 представлены результаты расчёта зависимости величин трёх наименьших собственных значений E = Enl (индекс n соответствует таковому для задачи на бесконечном полуинтервале 0 ≤ r < ∞) от радиуса КТ г0. Из таблицы, в частности, видно, что индекс n («главное квантовое число») при конечных г0 уже не нумерует состояния: вырождение состояний с n = 2, l = 0,1 снимается.

Таблица 1. Зависимость энергий трёх нижайших кулоновских состояний от г0

г0

E1,0

E2,0

E2,1

от

-1

-0,25

-0,25

15

-0,9999999998

-0,2490

-0,2495

10

-0,999998

-0,2256

-0,2377

9

-0,999991

-0,2057

-0,2275

8

-0,99995

-0,1695

-0,2089

7

-0,9997

-0,1025

-0.1750

6

-0,9986

0,0255

-0,1111

5

-0,9928

0,2825

0,01520

4

-0,9665

0,8405

0,2871

3

-0,8479

2,223

0,9625

2

-0,2500

6,655

3,152

1,8

0,06510

8,622

4,131

1,6

0,5426

11,42

5,530

1,4

1,294

15,59

7,614

1,2

2,539

22,12

10,89

1

4,748

33,14

16,45

 

Как отмечено выше, аналитическое решение задачи для конечного отрезка можно найти тогда, когда узел собственной функции задачи на бесконечном полуинтервале совпадает с радиусом КТ. Из Таблицы 1 видно, что при г0 = 2 вычисленное наименьшее собственное значение (энергия основного состояния) есть E10 = -0,25 (с высокой точностью - по крайней мере 14 верных значащих цифр). Этому значению соответствует, в частности, решение (1) (ему соответствует также решение (1) , которое и имеет узел при r = 2, т.е. это и есть соответствующая собственная функция, нормированная условием (24), если положить . Точность метода можно оценить, в частности, сравнивая значение величины Q, вычисленное с помощью выражения (26): Q= 0.105306034687423 и с помощью точной формулы Q = 2 - 14e-2 =0.105306034687422. Сравнение точных и найденных с помощью описанного метода значений собственной функции показывает совпадение 14 значащих цифр в этих величинах при всех г: 0 ≤ r ≤ 2.

3.3.     Волновая функция основного состояния в модели центрально­ячеечного потенциала нулевого радиуса

Модель центрально-ячеечного потенциала нулевого радиуса описывает влияние короткодействующего потенциала, создаваемого примесным атомом в полупроводнике (помимо кулоновского потенциала), на основное состояние в кулоновском потенциале [3]. Математически это означает следующее: нужно найти нормируемое условием (21) решение уравнения (1), соответствующее некоторому заданному значению E = Е0 < 0, не равному собственному значению (1). Ясно, что такое решение есть линейная комбинация регулярного (3) и иррегулярного (5) решений

                                                                                                                      (27)

при l = 0 (поскольку (r) ведёт себя в нуле как ), экспоненциально убывающая на бесконечности. Задача состоит в отыскании константы M при заданном Е0. Для этого нужно провести сшивку решений, т.е. найти нетривиальное решение уравнения (22), в котором матрица A и вектор х есть функции M, а столбец Ф0 = Ф0(M) составлен из значений, принимаемых (27) и его производной в точке r =ȓ при данном M. Процедура вычисления М при заданном Е0 сводится к численному решению уравнения det A(M) = 0.

После определения собственного значения M при данном Е0, решая (22), находим связь между компонентами вектораx (M), а затем, используя (21), - значения констант C2(M) и b-1(M), чем полностью определяем волновую функцию и её производную.

На рис. 1 представлена вычисленная зависимость коэффициента M в линейной комбинации регулярного и иррегулярного решений (1) от энергии Е.


Рис.1. Зависимость коэффициента M в (27) от параметра E (энергии) в (1)

 

3.4.      Задача на собственные значения в случае потенциала с жёсткой сердцевиной и кулоновским «хвостом»

Модели, использующие потенциал с жёсткой сердцевиной (hardcore potential), рассматриваются в различных приложениях, а методы решения задач квантовой механики при его наличии представляют собой самостоятельный интерес [11]. Модель потенциала с жёсткой сердцевиной и кулоновским хвостом может быть полезна для описания слабосвязанных состояний многоэкситонных комплексов, связанных на примеси в полупроводнике.

Рассматривается следующая задача на собственные значения для уравнения (1): нужно найти такие значения параметра Е: Е < 0 (энергии), при которых решение (1) Rl(r) = 0 при г ≤ гнс (гнс - радиус действия потенциала с жёсткой сердцевиной) и  Rl (r) → 0 при r → ∞; нужно также найти решения, соответствующие этим собственным значениям Е, и нормированные условием:

                                                                                                                        (28)

 

Для решения задачи необходимо при каждом значении E в (1) найти такую линейную комбинацию регулярного (3) и иррегулярного (5) решений, вида (27), для которой выполняется условие

                                                                                      (29)

Равенство (29) определяет зависимость M = M(E), что позволяет сшить решения (см. пп. 3.1., 3.3.) и вычислить как собственные значения (энергии), так и собственные функции, удовлетворяющие условию нормировки (28).

Некоторые результаты расчётов представлены на рис. 2, 3. На рис. 2 представлена собственная функция, соответствующая наименьшему собственному значению (волновая функция основного состояния) в случае гнс = 0,4 (L= 0, Е= -0,5320). Зависимость величины наименьшего собственного значения (L = 0) от гнс представлена на рис. 3.

Рис. 2. Волновая функция основного состояния в случае радиуса потенциала rHC = 0,4 (l= 0, E= -0,5320)

 

Рис. 3. Зависимость величины наименьшего собственного значения (l = 0) от гнс

 

Автор благодарен Т.Ю. Балыковой за проведение численных расчётов.

 

Литература

  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. − М.: Наука, 1989.
  2. Мессиа А. Квантовая механика. − М.: Наука, Т.1, 1978.
  3. Polupanov A.F., Kogan Sh.M. Lines intensities in shallow acceptor spectra in germanium. − Sov. Phys. Semicond. 1979, 13 (12), pp. 1368-1371.
  4. Pajot B., Beinikhes I.L., Kogan Sh.M., Novak M.G. Polupanov A.F., Song C. The interpreta­tion of the p3/2 spectra of group III acceptors in silicon. − Semicond. Sci. Technol. 1992, 7, pp. 1162-1169.
  5. Polupanov A.F., Galiev V.I., Zhuravlev V.E. − Materials Science Forum. 1990, 65&66, pp. 41­46.
  6. Galiev V.I., Polupanov A.F., Shparlinski I.E. On the construction of solutions of systems of linear ordinary differential equations in the neighbourhood of a regular singularity. − J. of Computational and Applied Mathematics, 1992, v. 39, pp. 151 -163.
  7. Galiev V.I., Polupanov A.F., Accurate solutions of coupled radial Schrödinger equations. − J. Phys. A: Math. Gen., 1999, v. 32, pp. 5477-5492.
  8. Федорюк М.В. Асимптотические методы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. − М.: Наука, 1985.
  9. Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. − New York, London, Sydney: Interscience Publishing, 1965.
  10. Polupanov A.F., Galiev V.I., Novak M.G. Effect of the spin-orbit interaction on the optical spectra of an acceptor in a semiconductor quantum dot. − Semiconductors, 1997, 31 (11), pp. 1185-1191.
  11. Yamasaki Sh. A new method for treating the hard core potential, − Progress of Theoretical Physics. 2006, 115 (1), pp. 89-114.

Информация об авторах

Полупанов Александр Федорович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, профессор кафедры прикладной математики факультета информационных технологий МГППУ, e-mail: sashap55@mail.ru

Метрики

Просмотров

Всего: 1163
В прошлом месяце: 9
В текущем месяце: 4

Скачиваний

Всего: 1150
В прошлом месяце: 9
В текущем месяце: 2